Cho hàm số \(y = \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 2mx + 4}}\). Số giá trị thực của \(m\) để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận ?

Cho hàm số \(y = \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 2mx + 4}}\). Số giá trị thực của \(m\) để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận ?

A. \(2\).

B. \(3\).

C. \(0\).

D. \(1\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

– Sử dụng Định nghĩa tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f(x)\): Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = a\,\)hoặc\(\,\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } f(x) = a\)\( \Rightarrow y = a\) là TCN của đồ thị hàm số, xác định đường TCN của hàm số.

– Để hàm số có đúng hai đường tiệm cận thì hàm số phải có bao nhiêu đường tiệm cận đứng.

– Tìm điều kiện số nghiệm của phương trình mẫu số = 0.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 2mx + 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 2mx + 4}} = 0.\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 2mx + 4}}\) luôn có 1 TCN \(y = 0\) với mọi \(m\).

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 2mx + 4}}\) có đúng 2 đường tiệm cận thì số đường tiệm cận đứng là 1.

\( \Leftrightarrow \) Phương trình \({x^2} – 2mx + 4 = 0\,\,\left( * \right)\) hoặc là có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm là 1; hoặc là có nghiệm kép (bằng 1 hay khác 1 đều nhận).

TH1 : \(x = 1\) là nghiệm của phương trình (*) trên \( \Rightarrow 1 – 2m + 4 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\).

Khi đó \(y = \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 2mx + 4}} = \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 5x + 4}} = \frac{{ – 1}}{{x – 4}}\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có đúng 1 TCĐ là \(x = 4 \Rightarrow m = \frac{5}{2}\) thỏa mãn.

TH2 : Phương trình \({x^2} – 2mx + 4 = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta = {m^2} – 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2.\)

Thử lại:

Với \(m = – 2\) thì \(y = \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 2mx + 4}} = \frac{{1 – x}}{{{x^2} + 4x + 4}}\) có 1 TCĐ là \(x = – 2\).

Với \(m = – 2\) thì \(y = \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 2mx + 4}} = \frac{{1 – x}}{{{x^2} – 4x + 4}}\) có 1 TCĐ là \(x = 2\).

\( \Rightarrow m = \pm 2\)thỏa mãn.

Vậy tập các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(\left\{ {\frac{5}{2};2; – 2} \right\}.\)

Chọn B.