by Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 2mx – m + 2}}\) có đúng hai đường tiệm cận. Tổng tất cả các phần tử của tập \(S\) bằng:
A. \( – 4\)
B. \( – 2\)
C. \( – 5\)
D. \( – 1\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = a\) là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ \pm }} f\left( x \right) = \pm \infty \).
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = b\) là tiệm cận ngang khi xảy ra một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = b\).
Tìm đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số để suy ra số đường tiệm cận đứng. Từ đó tìm giá trị của \(m\) thỏa mãn.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x – 1}}{{{x^2} + 2mx – m + 2}} = 0\).
Do đó, đồ thị hàm số đã cho luôn nhận đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang với mọi giá trị của \(m\).
Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có đúng 1 đường tiệm cận đứng.
Đồ thị hàm số có đúng 1 tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \({x^2} + 2mx – m + 2 = 0\) hoặc có nghiệm kép, hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng \(1\). (1)
Phương trình \({x^2} + 2mx – m + 2 = 0\) có \(\Delta ‘ = {m^2} – \left( { – m + 2} \right) = {m^2} + m – 2\)
\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ‘ = 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\{1^2} + 2m.1 – m + 2 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + m – 2 = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m – 2 > 0\\3 + m = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m > 1\\m < – 2\\m = – 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = – 2\\m = – 3\end{array} \right.\)
Do đó, tập các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn là \(S = \left\{ {1; – 2; – 3} \right\}\).
Vậy tổng tất cả các phần tử của tập hợp \(S\) bằng \(1 – 2 – 3 = – 4\).
Chọn A.
