by Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}\,\,\,\left( {a,b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Trong các số \(a,\,\,b\) và \(c\) có bao nhiêu số dương ?
A. \(2.\)
B.
\(3.\)
C. \(1.\)
D. \(0.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
Từ BBT suy ra các đường TCĐ, TCN của đồ thị hàm số.
Từ đó suy ra mối quan hệ của \(a,\,\,b,\,\,c.\)
Lời giải chi tiết:
Dựa vào BBT ta thấy đồ thị hàm số có TCĐ: \(x = 2\) \( \Rightarrow – \frac{c}{b} = 2 \Leftrightarrow c = – 2b\)
TCN: \(y = 1 \Rightarrow \frac{a}{b} = 1 \Leftrightarrow a = b\)
Ta có: \(f\left( x \right) = \frac{{ax + 1}}{{bx + c}}\) \( \Rightarrow f’\left( x \right) = \frac{{ac – b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}}\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { – \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y’ > 0\,\,\,\,\,\forall x \ne 2\\ \Leftrightarrow \frac{{ac – b}}{{{{\left( {bx + c} \right)}^2}}} > 0\,\,\,\forall x \ne 2\\ \Leftrightarrow ac – b > 0\\ \Leftrightarrow b.\left( { – 2b} \right) – b > 0\\ \Leftrightarrow – 2{b^2} – b > 0\\ \Leftrightarrow 2{b^2} + b < 0\\ \Leftrightarrow – \frac{1}{2} < b < 0\\ \Rightarrow b < 0\\ \Rightarrow a < 0,c > 0\end{array}\)
Vậy trong ba số \(a,\,\,b,\,\,c\) có 1 số dương.
Chọn C.
