by Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ { – 10;10} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} – 4} }}{{x – 1}}\) có ba đường tiệm cận?
A. \(7\)
B. \(8\)
C. \(10\)
D. \(6\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(x = a\) là tiệm cận đứng khi xảy ra một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ \pm }} f\left( x \right) = \pm \infty \).
– Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nhận đường thẳng \(y = b\) là tiệm cận ngang khi xảy ra một trong các giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f\left( x \right) = b\).
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}m{x^2} \ge 4\\x \ne 1\end{array} \right.\) \( \Rightarrow m > 0\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} – 4} }}{{x – 1}} = \sqrt m \\\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \frac{{\sqrt {m{x^2} – 4} }}{{x – 1}} = – \sqrt m \end{array} \right. \Rightarrow \) Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang \(y = \pm \sqrt m \) \(\left( {m > 0} \right)\).
Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {m{x^2} – 4} }}{{x – 1}}\) có 3 đường tiệm cận thì đồ thị hàm số phải có 1 đường tiệm cận đứng.
\( \Rightarrow x = 1\) phải thỏa mãn điều kiện \(m{x^2} \ge 4 \Leftrightarrow m \ge 4\).
Do đó, \(m \ge 4\) thì hàm số đã cho có 1 đường tiệm cận đứng và 2 đường tiệm cận ngang.
Mặt khác \(m \in \left[ { – 10;10} \right]\), \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\).
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên của tham số \(m\) thỏa mãn bài toán.
Chọn A.
