by Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình dưới. Tìm \(m\) để bất phương trình \(f\left( x \right) \ge \frac{{x + 1}}{{x + 2}} + m\) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left[ {0;\,\,1} \right].\)
A. \(m \ge f\left( 0 \right) – \frac{1}{2}\)
B. \(m > f\left( 0 \right) – \frac{1}{2}\)
C. \(m < f\left( 1 \right) – \frac{2}{3}\)
D. \(m \le f\left( 1 \right) – \frac{2}{3}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Cô lập \(m\), đưa bất phương trình về dạng \(m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).
– Chứng minh hàm số \(g\left( x \right)\) đơn điệu trên \(\left[ {0;1} \right]\) và suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,f\left( x \right) \ge \frac{{x + 1}}{{x + 2}} + m\,\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \le f\left( x \right) – \frac{{x + 1}}{{x + 2}} = g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\\ \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) – \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\) trên \(\left[ {0;1} \right]\) ta có: \(g’\left( x \right) = f’\left( x \right) – \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {0;1} \right)\) nên \(f’\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), lại có \( – \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), do đó \(g’\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \left[ {0;1} \right]\), suy ra hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) – \frac{2}{3}\).
Vậy \(m \le f\left( 1 \right) – \frac{2}{3}\).
Chọn D.
