by Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\left( {a \ne 0} \right)\) có \(\mathop {\min }\limits_{\left( { – \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right).\) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\left[ {0;2} \right]\) bằng ?
A. \(c\)
B. \(c – a\)
C. \(c + 8a\)
D. \(16a + 4b + c\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Từ giả thiết ta lập luận để có \(a > 0.\)
Từ đó tìm được các điểm cực trị của hàm số và suy ra được GTNN thông qua BBT.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y’ = 4a{x^3} + 2bx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\4a{x^2} + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = – \frac{b}{{2a}}\end{array} \right.\)
Tù giả thiết suy ra \(a > 0\).
TH1: Nếu \(b \ge 0\) thì hàm số có 1 cực trị \(x = 0.\) Suy ra hàm số đơn điệu trên \(\left( { – \infty ;0} \right)\) điều này mâu thuẫn với giả thiết \(\mathop {\min }\limits_{\left( { – \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right)\) nên ta loại TH này.
TH2: \(b < 0\) hàm số có ba cực trị \({x_1} = 0,{x_2} = – \sqrt {\frac{{ – b}}{{2a}}} ,{x_3} = \sqrt {\frac{{ – b}}{{2a}}} \)
Vì \(\mathop {\min }\limits_{\left( { – \infty ;0} \right)} f\left( x \right) = f\left( { – 1} \right)\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = – 1 \Rightarrow {x_2} = – 1;{x_3} = 1\), khi đó \(a > 0.\)
Ta có BBT:
Từ BBT suy ra GTNN của hàm số trên \(\left[ {0;2} \right]\) là \(f\left( 1 \right) = a + b + c\)
Lại có \(x = 1\) là cực trị của hàm số nên \( – \frac{b}{{2a}} = 1 \Rightarrow b = – 2a\)
Suy ra \(f\left( 1 \right) = a + \left( { – 2a} \right) + c = c – a\)
Vậy GTNN cần tìm là \(c – a.\)
Chọn B.
