Cho hàm số\(y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} – 2\) . Tìm số thực dương m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng 2.

Cho hàm số\(y = {x^3} + \left( {{m^2} + 1} \right)x + {m^2} – 2\) . Tìm số thực dương m để hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) bằng 2.

A. \(m = {\rm{ }}2.\)

B. \(m = {\rm{ }}4.\)

C. \(m = 1.\)

D. \(m = {\rm{ }}0.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

– Tính \(f’\left( x \right)\), từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.

– Sử dụng định nghĩa: Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) thì \(f\left( a \right) < f\left( x \right) < f\left( b \right)\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(f’\left( x \right) = 3{x^2} + {m^2} + 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số cũng đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = {m^2} – 2\).

Theo bài ra ta có: \({m^2} – 2 = 2 \Leftrightarrow m = \pm 2\).

Mà \(m\) là số thực dương. Vậy \(m = 2\).

Chọn A.