by Một bác nông dân cần xây một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích \(25600\left( {c{m^3}} \right)\), tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng \(2\). Tính diện tích của đáy hố ga để khi xây hố ga tiết kiệm nguyên vật liệu nhất.
A. \(640\left( {c{m^2}} \right)\)
B. \(1600\left( {c{m^2}} \right)\)
C. \(160\left( {c{m^2}} \right)\)
D. \(6400\left( {c{m^2}} \right)\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Đưa diện tích của hố ga về phương trình 2 ẩn
Áp dụng BĐT AM – GM biết mối liên hệ của 2 ẩn qua thể tích.
Lời giải chi tiết:
Gọi chiều dài và chiều rộng của hố ga lần lượt là \(a\) và \(b\)\(\left( {a,b > 0} \right)\)
Tỉ số giữa chiều cao và chiều rộng của hố ga bằng 2 nên chiều cao của hố ga bằng \(2b\)
Thể tích của hố ga bằng \(25600\left( {c{m^3}} \right)\) nên \(2b.a.b = 25600 \Leftrightarrow a{b^2} = 12800\)
Diện tích toàn phần của hố ga không nắp là \({S_{tp}} = ab + 2.2b.a + 2.2b.b\)\( = ab + 4ab + 4{b^2} = 5ab + 4{b^2}\)
Áp dụng BĐT AM – GM ta có :
\({S_{tp}} = 5ab + 4{b^2}\)\( = \frac{5}{2}ab + \frac{5}{2}ab + 4{b^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{5}{2}.\frac{5}{2}.4.{a^2}{b^4}}}\)\( = 3\sqrt[3]{{{{25.12800}^2}}} = 4800\)
Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{5}{2}ab = 4{b^2} \Leftrightarrow a = \frac{8}{5}b \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 32\\b = 20\end{array} \right.\)
Diện tích đáy của hố ga để xây hố ga tiêt kiệm nguyên liệu nhất là \(S = ab = 20.32 = 640\left( {c{m^2}} \right)\)
Chọn A.
