Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\left[ { – 1;1} \right]\) thỏa mãn: \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{86}}{{15}}\) và \(f\left( 1 \right) = 5\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {xf’\left( x \right)dx} \) bằng:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\left[ { – 1;1} \right]\) thỏa mãn: \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{86}}{{15}}\) và \(f\left( 1 \right) = 5\). Khi đó \(\int\limits_0^1 {xf’\left( x \right)dx} \) bằng:

A. \(\frac{{32}}{{15}}\)

B. \(\frac{{86}}{{15}}\)

C. \(\frac{{ – 11}}{{15}}\)

D. \(\frac{{16}}{{15}}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

– Sử dụng tính chất của hàm chẵn: \(\int\limits_{ – a}^a {f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_0^a {f\left( x \right)dx} \) (\(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ { – a;a} \right]\)).

– Sử dụng phương pháp tích phân từng phần \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b – \int\limits_a^b {vdu} \).

Lời giải chi tiết:

Vì \(f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và liên tục trên \(\left[ { – 1;1} \right]\) nên \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 2\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{86}}{{15}}\) \( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{{43}}{{15}}\).

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^1 {xf’\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f’\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(I = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = f\left( 1 \right) – \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 5 – \frac{{43}}{{15}} = \frac{{32}}{{15}}\).

Chọn A.