by Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2;\,\,\,\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx = 6.} \) Giá trị của \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {2x – 1} \right|} \right)} dx\) bằng:
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(4\)
C. \(\frac{3}{2}\)
D. \(6\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Sử dụng tính chất của tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} + \int\limits_b^c {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} .\)
Sử dụng phương pháp tích phân đổi biến.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\int\limits_{ – 1}^1 {f\left( {\left| {2x – 1} \right|} \right)} dx = \int\limits_{ – 1}^{\frac{1}{2}} {f\left( { – 2x – 1} \right)dx} + \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( {2x – 1} \right)dx} \)
Đặt \({I_1} = \int\limits_{ – 1}^{\frac{1}{2}} {f\left( { – 2x – 1} \right)dx} ;\,\,\,\,{I_2} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {f\left( {2x – 1} \right)dx} \)
Tính \({I_1} = \int\limits_{ – 1}^{\frac{1}{2}} {f\left( { – 2x – 1} \right)dx} \)
Đặt \( – 2x – 1 = t \Rightarrow dt = – 2dx \Rightarrow dx = – \frac{1}{2}dt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 \Rightarrow t = 3\\x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 0\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow {I_1} = – \frac{1}{2}\int\limits_3^0 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}.6 = 3.\)
Tính \({I_2} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {f\left( {2x + 1} \right)dx} \)
Đặt \(2x – 1 = t \Rightarrow dt = 2dx \Rightarrow dx = \frac{1}{2}dt\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 0\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_2} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = \frac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \frac{1}{2}.2 = 1.\\ \Rightarrow I = {I_1} + {I_2} = 3 + 1 = 4.\end{array}\)
Chọn B.
