by Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( 0 \right) = 0\) và \(f’\left( x \right) = {\sin ^4}x\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \) bằng:
A. \(\frac{{{\pi ^2} – 6}}{{18}}\)
B. \(\frac{{{\pi ^2} – 3}}{{32}}\)
C. \(\frac{{3{\pi ^2} – 16}}{{64}}\)
D. \(\frac{{3{\pi ^2} – 6}}{{112}}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là C
Phương pháp giải:
– Tìm hàm số \(f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx} \).
– Sử dụng giả thiết \(f\left( 0 \right) = 0\) tìm hằng số \(C\).
– Với hàm \(f\left( x \right)\) tìm được, tính \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).
Lời giải chi tiết:
Ta có \(f\left( x \right) = \int {f’\left( x \right)dx} = \int {{{\sin }^4}xdx} \)
\(\begin{array}{l} = \int {{{\left( {\frac{{1 – \cos 2x}}{2}} \right)}^2}dx} \\ = \frac{1}{4}\int {\left( {1 – 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)dx} \\ = \frac{1}{4}\int {\left( {1 – 2\cos 2x + \frac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)dx} \\ = \frac{1}{4}\left( {x – \sin 2x + \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}.\frac{{\sin 4x}}{4}} \right) + C\\ = \frac{{3x}}{8} – \frac{{\sin 2x}}{4} + \frac{{\sin 4x}}{{32}} + C\end{array}\)
Theo bài ra ta có \(f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow C = 0\) \( \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{3x}}{8} – \frac{{\sin 2x}}{4} + \frac{{\sin 4x}}{{32}}\).
Vậy \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{{3x}}{8} – \frac{{\sin 2x}}{4} + \frac{{\sin 4x}}{{32}}} \right)dx} = \frac{{3{\pi ^2} – 16}}{{64}}\) (sử dụng MTCT).
Chọn C.
