Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau Hàm số \(y = 3f\left( {x + 2} \right) – {x^3} + 3x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số \(y = 3f\left( {x + 2} \right) – {x^3} + 3x\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?

A. \(\left( {1; + \infty } \right)\)

B. \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\)

C. \(\left( { – 1;0} \right)\)

D. \(\left( {0;2} \right)\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là C

Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right)\) khi và chỉ khi \(f’\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Lưu ý công thức tính đạo hàm của hàm hợp. Sau đó thử từng đáp án để chọn kết quả đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(y = 3f\left( {x + 2} \right) – {x^3} + 3x\) \( \Rightarrow y’ = 3f’\left( {x + 2} \right) – 3{x^2} + 3\).

Xét \(\, – 1 < x < 0\) ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}1 < x + 2 < 2 \Rightarrow f’\left( {x + 2} \right) > 0\\{x^2} < 1 \Leftrightarrow {x^2} – 1 < 0\end{array} \right. \Rightarrow 3f’\left( {x + 2} \right) – 3{x^2} + 3 > 0\,\,\forall x \in \left( {0;1} \right)\).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( { – 1;0} \right)\).

CHỌN C.