by Cho hai hàm số \(y=f\left( x \right),\ y=g\left( x \right).\) Hai hàm số \(y=f’\left( x \right)\) và \(y=g’\left( x \right)\) có đồ thị hàm như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y=g’\left( x \right).\) Hàm số \(h\left( x \right)=f\left( x+6 \right)-g\left( 2x+\frac{5}{2} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \(\left( \frac{21}{5};+\infty \right)\)
B. \(\left( \frac{1}{4};\ 1 \right)\)
C. \(\left( 3;\ \frac{21}{5} \right)\)
D. \(\left( 4;\ \frac{17}{4} \right)\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến \(\Leftrightarrow f’\left( x \right)\ge 0.\)
Lời giải chi tiết:
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đường thẳng \(y=10\) cắt đồ thị hàm số \(y=f’\left( x \right)\) tại hai điểm phân biệt \(\left( 3;\ 10 \right)\) và \(\left( m;\ 10 \right)\) với mọi \(m\in \left( 8;\ 10 \right).\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
f’\left( {x + 6} \right) > 10\\
g’\left( {2x + \frac{5}{2}} \right) \le 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 < x + 6 < m < 8\\
0 < 2x + \frac{5}{2} < 11
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 3 < x < 2\\
– \frac{5}{4} \le x \le \frac{{17}}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow – \frac{5}{4} \le x < 2.\)
Lại có \(h\left( x \right)\) đồng biến \(\Leftrightarrow h’\left( x \right)>0\Leftrightarrow f’\left( x+6 \right)-2g’\left( 2x+\frac{5}{2} \right)>0\)
Mà \(f’\left( x+6 \right)>10\) và \(2g’\left( 2x+\frac{5}{2} \right)\le -10\Rightarrow h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ -\frac{5}{4};\ 2 \right).\)
Dựa vào các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn.
Chọn B.
