Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định với mọi \(x\) thuộc \(R\). Biết rằng với mọi \(x\) , ta đều có: \(f\left( x \right) + 2.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2}.\) Tính \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định với mọi \(x\) thuộc \(R\). Biết rằng với mọi \(x\) , ta đều có: \(f\left( x \right) + 2.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2}.\) Tính \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\).

A. \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{232}}{{27}}\).

B. \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 27\).

C. \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{169}}{{27}}\).

D. \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{161}}{{27}}\).

Hướng dẫn

Chọn đáp án là: D

Phương pháp giải:

+ Thay \(x = \frac{1}{3}\) vào \(f\left( x \right) + 2.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2}\) ta được \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.f\left( 3 \right) = \frac{1}{9}\).

+ Thay \(x = 3\) vào \(f\left( x \right) + 2.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2}\) . Ta được:

\(\begin{array}{l}f\left( 3 \right) + 2.f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 9\\ \Rightarrow f\left( 3 \right) = 9 – 2.f\left( {\frac{1}{3}} \right)\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Thay \(\left( * \right)\) vào \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.f\left( 3 \right) = \frac{1}{9}\) ta tìm được \(f\left( {\frac{1}{3}} \right)\).

+ Thay \(x = \frac{1}{3}\) vào \(f\left( x \right) + 2.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2}\) ta được \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.f\left( 3 \right) = \frac{1}{9}\).

+ Thay \(x = 3\) vào \(f\left( x \right) + 2.f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2}\) . Ta được: \(f\left( 3 \right) + 2.f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 9 \Rightarrow f\left( 3 \right) = 9 – 2.f\left( {\frac{1}{3}} \right)\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

+ Thay \(\left( * \right)\) vào \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.f\left( 3 \right) = \frac{1}{9}\) .Ta được:

\(\begin{array}{l}f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.f\left( 3 \right) = \frac{1}{9}\\ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 2.\left[ {9 – 2.f\left( {\frac{1}{3}} \right)} \right] = \frac{1}{9}\\ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) + 18 – 4.f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{9}\\ \Rightarrow – 3.f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{9} – 18\\ \Rightarrow 3.f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 18 – \frac{1}{9}\\ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) = 6 – \frac{1}{{27}} = \frac{{161}}{{27}}\end{array}\)

Vậy \(f\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{161}}{{27}}\).

Chọn D