by Cho hai đường thẳng d và d’ song song với nhau. A và B là hai điểm cố định trên đường thẳng d, C và D là hai điểm di động trên đường thẳng d’ sao cho tứ giác ABCD là hình bình bành. M là trung điểm của cạnh CD. N là giao điểm của AM và BC. Chứng minh rằng N thuộc một đường thẳng cố định.
Phương pháp giải:
Vẽ ba vị trí của C, D, dự đoán rằng N di chuyển trên đường thẳng song song với d và d’.
Vẽ \(NK \bot d’,K \in d’\). Cần chứng minh NK không đổi.
Vẽ \(AH \bot d’,H \in d’\)
Ta chứng minh được \(\Delta AMD = \Delta NMC \Rightarrow AM = NM\)
\(\Delta HAM = \Delta KNM \Rightarrow AH = NK\)
Lời giải chi tiết:
\(NK \bot d’,AH \bot d\left( {K \in d’,H \in d} \right)\).
Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta NMC\)có: \(\widehat {AMD} = \widehat {NMC}\) (đối đỉnh), \(MD = MC\left( {gt} \right)\); \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{C_1}}\) (vì AD // BC), nên
\(\Delta AMD = \Delta NMC\)(c.g.c).
Suy ra AM = NM.
Xét \(\Delta HAM\) và \(\Delta KNM\)có: \(\widehat H = \widehat K = {90^0}\) , \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}},AM = NM\) , nên \(\Delta HAM = \Delta KNM\left( {c.h.g.n} \right)\)
Suy ra \(AH = NK\).
AH chính là khoảng cách của d và d’, d’ cố định nên N thuộc đường thẳng cố định m song song với d’ cách d’ một khoảng bằng khoảng cách của d và d’.
