Cho hai điểm $ A\left( -3\,\,;\,\,1 \right)$ và $ B\left( -5\,\,;\,\,5 \right)$ . Tìm điểm $ M$ trên trục $ y’Oy$ sao cho $ MB-MA$ lớn nhất.

A. $ M\left( 0\,\,;-5 \right)$ .

B. $ M\left( 0\,\,;\,\,5 \right)$ .

C. $ M\left( 0\,\,;\,\,3 \right)$ .

D. $ M\left( 0\,\,;-6 \right)$ .

Hướng dẫn

Lấy $ M\left( 0\,\,;\,\,y \right)\in y’Oy$ , với $ y$ bất kì.

Ta có : $ MB-MA\le AB$ ;

$ {{x}_{A}}. {{x}_{B}}=\left( -3 \right)\left( -5 \right)=15>0$ .

Vậy $ A,\,\,B$ nằm cùng bên đối với $ y’Oy$ (hình vẽ)

Do đó $ MB-MA$ lớn nhất khi $ MB-MA=AB$ , khi đó $ M,\,\,A,\,\,B$ thẳng hàng và $ M$ nằm ngoài đoạn $ AB$ .

$ \overrightarrow{MB}=\left( -5\,\,;\,\,5-y \right)\,\,;\,\,\overrightarrow{MA}=\left( -3\,\,;\,\,1-y \right). $

$ \overrightarrow{MB}=k\overrightarrow{MA}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

-5=-3k \\

5-y=k\left( 1-y \right)

\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}

k=\frac{5}{3} \\

y=-5

\end{array} \right. $

Do đó $ M\left( 0\,\,;-5 \right)$ . Chọn đáp án A.