Cho đoạn mạch R = 100 Ω, cuộn cảm thuần $L=\frac{1}{\pi }H$và tụ điện C. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch $u=220\sqrt{2}\cos 2\pi ft$ (V) với tần số f có thể thay đổi được. Khi f = f$_{X}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ C đạt cực đại; giá trị lớn nhất này gấp $\frac{5}{3}$lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch. Giá trị C và tần số f$_{X}$ lần lượt là

Cho đoạn mạch R = 100 Ω, cuộn cảm thuần $L=\frac{1}{\pi }H$và tụ điện C. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch $u=220\sqrt{2}\cos 2\pi ft$ (V) với tần số f có thể thay đổi được. Khi f = f$_{X}$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai bản tụ C đạt cực đại; giá trị lớn nhất này gấp $\frac{5}{3}$lần điện áp hiệu dụng giữa hai đầu đoạn mạch. Giá trị C và tần số f$_{X}$ lần lượt là

A. $\frac{{{4. 10}^{-5}}}{\pi }F;50\sqrt{2}\text{ Hz}\text{. }$

B. $\frac{{{10}^{-5}}}{\pi }F;\text{ }50\text{ Hz}\text{. }$

C. $\frac{{{10}^{-5}}}{2\pi }\text{F};\text{ }50\sqrt{2}\text{ Hz}\text{. }$

D. $\frac{{{4. 10}^{-5}}}{\pi }\text{F};\text{ }50\text{ Hz}\text{. }$

Hướng dẫn

${{U}_{C}}=\frac{U{{Z}_{C}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{({{Z}_{L}}-{{Z}_{C}})}^{2}}}}=\frac{1}{\omega C}\frac{U}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{(\omega L-\frac{1}{\omega C})}^{2}}}}=\frac{1}{C}\frac{U}{\sqrt{{{L}^{2}}{{\omega }^{4}}+({{R}^{2}}-2\frac{L}{C}){{\omega }^{2}}+\frac{1}{{{C}^{2}}}}}$
${{U}_{C}}=\text{ }{{U}_{Cmax}}$ khi ${{\omega }^{2}}=\frac{2\frac{L}{C}-{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}$và ${{U}_{Cmax}}$= $\frac{1}{C}$$\frac{U}{\sqrt{\frac{4{{R}^{2}}\frac{L}{C}-{{R}^{4}}}{4{{L}^{2}}}}}$= $\frac{2LU}{R\sqrt{4LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}}$ = $\frac{5U}{3}$
$\Rightarrow $6L = 5R $\sqrt{4LC-{{R}^{2}}{{C}^{2}}}$
$\Rightarrow $R$^{2}$C$^{2}$ – 4LC + $\frac{36{{L}^{2}}}{25{{R}^{2}}}$
$\Rightarrow $ $C=\frac{2L\pm 1,6L}{{{R}^{2}}}=\left( 2\pm 1,6 \right). \frac{{{10}^{-4}}}{\pi }\left( F \right)$
$\Rightarrow $ có 2 giá trị của ${{C}_{1}}=\frac{3,{{6.. 10}^{-4}}}{\pi }$ và C$_{2}$ = $\frac{{{4. 10}^{-5}}}{\pi }$F w$^{2}$ = $\frac{2\frac{L}{C}-{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}$ = $\frac{1}{LC}$ – $\frac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}$ > 0 $\Rightarrow $C < $\frac{2L}{{{R}^{2}}}$ = $\frac{{{2. 10}^{-4}}}{\pi }$F
$\Rightarrow $ loại nghiệm C$_{1 }$${{C}_{X}}={{C}_{2}}=\frac{{{4. 10}^{-5}}}{\pi }\left( F \right)$
$\Rightarrow $ w$^{2}$ = $\frac{1}{L{{C}_{2}}}$ – $\frac{{{R}^{2}}}{2{{L}^{2}}}$ = $\frac{{{10}^{5}}{{\pi }^{2}}}{4}$ – $\frac{{{100}^{2}}{{\pi }^{2}}}{2}$= 2. 10$^{4}$p$^{2}$
$\Rightarrow $w= 100p$\sqrt{2}$ rad/s Do đó ${{f}_{X}}=50\sqrt{2}Hz$