Cho đoạn mạch không phân nhánh RLC có $R=50\ \Omega ;L=\frac{1}{\pi }H$, cuộn dây thuần cảm, điện dung C thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch có biểu thức $u=100\sqrt{6}\cos \left( 100\pi t \right)V$. Điều chỉnh C để điện áp hiệu dụng U$_{RC}$ lớn nhất. Tính công suất tiêu thụ trên mạch khi đó?

A. 520 W

B. 512 W

C. 440 W

D. 480 W

Hướng dẫn

00109 Ta có. $R=50\left( \Omega \right);{{Z}_{L}}=L\omega =100\left( \Omega \right)$ Ta có. ${{U}_{RC}}=I. {{Z}_{RC}}=\frac{U. \sqrt{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}{\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}=\frac{U}{\sqrt{\frac{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}}}$ ${{U}_{RC}}\to max\Leftrightarrow y=\frac{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}{{{R}^{2}}+Z_{C}^{2}}$ Ta khảo sát hàm số y theo biến ${{Z}_{C}}$, y đạt giá trị nhỏ nhất khi ${{Z}_{C}}=\frac{{{Z}_{L}}+\sqrt{4{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}}{2}=\frac{100+\sqrt{4. {{\left( 50 \right)}^{2}}+{{100}^{2}}}}{2}=50+50\sqrt{2}\left( \Omega \right)$ Tổng trở của mạch. $Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 50 \right)}^{2}}+{{\left( 100-50-50\sqrt{2} \right)}^{2}}}\approx 54,12\left( \Omega \right)$ Hệ số công suất tiêu thụ trên mạch. $cos\varphi =\frac{R}{Z}=\frac{50}{54,12}\approx 0,924$ Công suất tiêu thụ trên mạch khi đó $P=UI. cos\varphi =100\sqrt{3}. \frac{100\sqrt{3}}{54,12}. 0,924\approx 512\left( \text{W} \right)$
 
 

Cho đoạn mạch không phân nhánh RLC có $R=50\ \Omega ;L=\frac{1}{\pi }H$, cuộn dây thuần cảm, điện dung C thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch có biểu thức $u=100\sqrt{6}\cos \left( 100\pi t \right)V$. Điều chỉnh C = C$_{1}$ để điện áp hiệu dụng U$_{L}$ lớn nhất, C = C$_{2}$ để điện áp hiệu dụng U$_{C}$ lớn nhất. Khi điều chỉnh điện dung $C=\frac{{{C}_{1}}+{{C}_{2}}}{2}$ hệ số công suất của mạch bằng

A. 0,923

B. 0,974

C. 0,983

D. 0,948

Hướng dẫn

Ta có. $R=50\left( \Omega \right);{{Z}_{L}}=L\omega =100\left( \Omega \right)$ Điều chỉnh C = C$_{1}$ để điện áp hiệu dụng U$_{L}$ lớn nhất $\Leftrightarrow $ Mạch xảy ra cộng hưởng $\Rightarrow {{Z}_{L}}={{Z}_{{{C}_{1}}}}=100\left( \Omega \right)$ Hay ${{C}_{1}}=\frac{1}{{{Z}_{{{C}_{1}}}}\omega }=\frac{1}{100. 100\pi }=\frac{{{10}^{-4}}}{\pi }\left( F \right)$ Điều chỉnh C = C$_{2}$ để điện áp U$_{C}$ lớn nhất thì ${{Z}_{{{C}_{2}}}}=\frac{{{R}^{2}}+Z_{L}^{2}}{{{Z}_{L}}}=\frac{{{\left( 50 \right)}^{2}}+{{100}^{2}}}{100}=125\left( \Omega \right)\Rightarrow {{C}_{2}}=\frac{1}{{{Z}_{{{C}_{2}}}}\omega }=\frac{{{8. 10}^{-5}}}{\pi }\left( F \right)$ $\Rightarrow C=\frac{{{C}_{1}}+{{C}_{2}}}{2}=\frac{\frac{{{10}^{-4}}}{\pi }+\frac{{{8. 10}^{-5}}}{\pi }}{2}=\frac{{{9. 10}^{-5}}}{\pi }\left( F \right)\Rightarrow {{Z}_{C}}=\frac{1000}{9}\left( \Omega \right)$ Tổng trở của mạch lúc này. $Z=\sqrt{{{R}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 50 \right)}^{2}}+{{\left( 100-\frac{1000}{9} \right)}^{2}}}=51,22\left( \Omega \right)$ Hệ số công suất. $cos\varphi =\frac{R}{Z}=\frac{50}{51,22}\approx 0,974$