by Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH.\) Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(A\) qua điểm \(B.\) Trên tia đối của \(HA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = 2HA.\) Gọi \(I\) là hình chiếu của \(D\) trên \(HE.\)
a) Tính độ dài \(AB,\,\,AC,\,\,HC\) biết \(AH = 4\,cm,\,\,BH = 3\,cm.\)
b) Tính \(\tan \angle IED,\,\,\tan \angle HCE.\)
c) Chứng minh \(\angle IED = \angle HCE.\)
d) Chứng minh \(DE \bot EC.\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng định lý Pitago và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính độ dài các cạnh.
b) Tính tỉ số lượng giác các góc nhọn trong tam giác vuông.
c) Chứng minh \(\tan \angle IED=\tan \angle HCE\Rightarrow \angle IED=\angle HCE.\)
d) Chứng minh \(\angle DEC = {90^0}.\)
Lời giải chi tiết:
a) Tính độ dài \(AB,\,\,AC,\,\,HC\) biết \(AH = 4\,cm,\,\,BH = 3\,cm.\)
Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{4^2} + {3^3}} = 5\,\,cm.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} – \frac{1}{{A{B^2}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} – \frac{1}{{{5^2}}} = \frac{9}{{400}} \Rightarrow AC = \frac{{20}}{3}\,\,cm.\\A{H^2} = BH.HC \Rightarrow HC = \frac{{A{H^2}}}{{BH}} = \frac{{{4^2}}}{3} = \frac{{16}}{3}\,\,cm.\end{array}\)
Vậy \(AB = 5cm,\,\,\,AC = \frac{{20}}{3}\,cm,\,\,\,HC = \frac{{16}}{3}\,cm.\)
b) Tính \(\tan \angle IED,\,\,\tan \angle HCE.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\DI \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow BC//DI\,\,\,hay\,\,\,BH//DI.\)
Xét \(\Delta AID\) ta có: \(B\) là trung điểm của \(AD\) và \(BH//DI\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(AI.\) (định lý đảo đường trung bình của tam giác)
Và \(BH = \frac{1}{2}DI \Rightarrow DI = 2BH = 2.3 = 6\,\,cm.\)
\( \Rightarrow AH = AI = IE = \frac{1}{3}AE = 5\,\,cm.\)
Xét \(\Delta DIE\) ta có: \(\tan \angle DEI = \frac{{DI}}{{IE}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.\)
Xét \(\Delta HCE\) ta có: \(\tan \angle HCE = \frac{{HE}}{{HC}} = \frac{{2AH}}{{HC}} = \frac{{2.4}}{{\frac{{16}}{3}}} = \frac{3}{2}.\)
Vậy \(\tan \angle DEI = \frac{3}{2};\,\,\,\tan \angle HCE = \frac{3}{2}.\)
c) Chứng minh \(\angle IED = \angle HCE.\)
Ta có: \(\tan \angle IED = \tan \angle HCE = \frac{3}{2} \Rightarrow \angle IED = \angle HCE\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
d) Chứng minh \(DE \bot EC.\)
Xét \(\Delta HEC\) ta có: \(\angle HEC + \angle HCE = {90^0}\)
Mà \(\angle DEI = \angle HCE\,\,\,\left( {cmt} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle DEC = \angle CEI + HCE = {90^0}\\Hay\,\,\,DE \bot EC\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)
