by Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A,\,\) đường cao \(AH.\) Cho \(\cos \angle ABC = \frac{3}{5}\) và \(BC = 10\,cm.\)
a) Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,HC\) và tính giá trị biểu thức: \(M = \frac{{2\cos B – 3\sin B}}{{1 + \tan B}}.\)
b) Từ \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(AB,\) cắt \(AH\) tại \(D.\) Tính diện tích tứ giác \(ABDC.\)
Phương pháp giải:
a) Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn.
b) Chứng minh tứ giác \(ABDC\) là hình thang vuông sau đó sử dụng công thức tính diện tích hình thang.
Lời giải chi tiết:
a) Tính độ dài các cạnh \(AC,\,\,HC\) và tính giá trị biểu thức: \(M = \frac{{2\cos B – 3\sin B}}{{1 + \tan B}}.\)
Xét \(\Delta ABC\) ta có: \(\cos \angle ABC = \frac{3}{5} = \frac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow AB = \frac{3}{5}.10 = 6\,\,cm.\)
\(AC = \sqrt {B{C^2} – A{B^2}} = \sqrt {{{10}^2} – {6^2}} = 8\,\,cm.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại\(A\) có đường cao \(AH\) ta có:
\(A{C^2} = HC.BC \Rightarrow HC = \frac{{A{C^2}}}{{BC}} = \frac{{{8^2}}}{{10}} = 6,4\,\,cm.\)
Xét \(\Delta ABC\) ta có:
\(\begin{array}{l}\sin \angle B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5};\,\,\,\,\,\tan \angle B = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\\ \Rightarrow M = \frac{{2\cos B – 3\sin B}}{{1 + \tan B}} = \frac{{2.\frac{3}{5} – 3.\frac{4}{5}}}{{1 + \frac{4}{3}}} = – \frac{{18}}{{35}}.\end{array}\)
b) Từ \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(AB,\) cắt \(AH\) tại \(D.\) Tính diện tích tứ giác \(ABDC.\)
Ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\\CD \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB//CD \Rightarrow ABDC\) là hình thang vuông tại \(A,\,\,C.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ACD\) vuông tại \(C\) có đường cao \(CH\) là:
\(\begin{array}{l}\frac{1}{{C{D^2}}} = \frac{1}{{C{H^2}}} – \frac{1}{{C{A^2}}} = \frac{1}{{6,{4^2}}} – \frac{1}{{{8^2}}} = \frac{9}{{1024}}\\ \Rightarrow C{D^2} = \frac{{1024}}{9} \Rightarrow CD = \frac{{32}}{3}\,\,\,cm.\end{array}\)
Ta có diện tích hình thang \(ABDC\) là: \(S = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AC}}{2} = \frac{{\left( {6 + \frac{{32}}{3}} \right).8}}{2} = \frac{{200}}{3}\,\,\,c{m^2}.\)
