Cho dãy số $({{u}_{n}})$xác định bởi ${{u}_{1}}=1$ và ${{u}_{n+1}}=\sqrt{2+u_{n}^{2}},\forall n\ge 1.$Tổng ${{S}_{2018}}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+…+u_{2018}^{2}$ là

Cho dãy số $({{u}_{n}})$xác định bởi ${{u}_{1}}=1$ và ${{u}_{n+1}}=\sqrt{2+u_{n}^{2}},\forall n\ge 1.$Tổng ${{S}_{2018}}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+…+u_{2018}^{2}$ là

C. ${{S}_{2018}}={{2015}^{2}}$.

B. ${{S}_{2018}}={{2018}^{2}}.$

C. ${{S}_{2018}}={{2017}^{2}}.$

D. ${{S}_{2018}}={{2016}^{2}}.$

Hướng dẫn

Đáp án B.

Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có ${{u}_{n+1}}^{2}=u_{n}^{2}+2,\forall n\ge 1.$ Suy ra $u_{n}^{2}=u_{1}^{2}+2(n-1)=2n-1.$

Do đó ${{S}_{n}}=u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+…+u_{n}^{2}=2(1+2+…+n)-n=n(n+1)-n={{n}^{2}}.$

Vậy ${{S}_{2018}}={{2018}^{2}}.$