Cho dãy số $({{u}_{n}})$thỏa mãn ${{u}_{1}}=\frac{1}{2};{{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}}{2(n+1){{u}_{n}}+1},n\ge 1.{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}<\frac{2017}{2018}$khi $n$ có giá trị nguyên dương lớn nhất.

Cho dãy số $({{u}_{n}})$thỏa mãn ${{u}_{1}}=\frac{1}{2};{{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}}{2(n+1){{u}_{n}}+1},n\ge 1.{{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}<\frac{2017}{2018}$khi $n$ có giá trị nguyên dương lớn nhất.

C. $2017.$

B. $2015.$

C. $2016.$

D. $2014.$

Hướng dẫn

Đáp án C.

Dễ chỉ ra được ${{u}_{n}}>0,\forall n\ge 1.$Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có $\frac{1}{{{u}_{n+1}}}=\frac{1}{{{u}_{n}}}+2n+2,\forall n\ge 1.$

Suy ra $\frac{1}{{{u}_{n}}}=\frac{1}{{{u}_{1}}}+2(1+2+..+n-1)+2(n-1)\Leftrightarrow \frac{1}{{{u}_{n}}}=2+n(n-1)+2(n-1)={{n}^{2}}+n\Rightarrow {{u}_{n}}=\frac{1}{n(n+1)}.$

Do đó ${{u}_{n}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1},\forall n\ge 1.$

Vậy ${{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$ Vì ${{S}_{n}}<\frac{2017}{2018}$nên $\frac{n}{n+1}<\frac{2017}{2018}\Rightarrow n<2017.$

Suy ra số nguyên dương lớn nhất để ${{S}_{n}}<\frac{2017}{2018}$là $n=2016$. Vì vậy phương án đúng là C.