by Cho các số thực \(a,\,b,\,c,\,x,\,y,\,z\) thỏa mẵn các điều kiện: \(ax + by = c;\,\,by + cz = a;\,\,cz + ax = b;\,x,y,z \ne – 1;\,\,a + b + c \ne 0\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}}\).
A. \(P = 2.\)
B. \(P = 1.\)
C. \(P = 0.\)
D. \(P = 3.\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
Từ giả thiết, suy ra \(a + b + c = 2\left( {a\,x + by + cz} \right) = 2\left( {c + cz} \right) = 2c\left( {z + 1} \right)\)
Nên \(\frac{1}{{z + 1}} = \frac{{2c}}{{a + b + c}}\), tương tự có \(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2a}}{{a + b + c}};\,\,\frac{1}{{y + 1}} = \frac{{2b}}{{a + b + c}};\,\,\)
Từ đấy suy ra giá trị của \(P.\)
Từ giả thiết, suy ra \(a + b + c = 2\left( {a\,x + by + cz} \right) = 2\left( {c + cz} \right) = 2c\left( {z + 1} \right)\)
Nên \(\frac{1}{{z + 1}} = \frac{{2c}}{{a + b + c}}\), tương tự có \(\frac{1}{{x + 1}} = \frac{{2a}}{{a + b + c}};\,\,\frac{1}{{y + 1}} = \frac{{2b}}{{a + b + c}};\,\,\)
Suy ra: \(\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{y + 1}} + \frac{1}{{z + 1}} = \frac{{2a + 2b + 2c}}{{a + b + c}} = 2.\)
Vậy \(P = 2.\)
