Cho các số \(a,\ b,\ c>0\) và \(\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}.\) Tính giá trị biểu thức \(M=10\text{a}+b-7c+2017.\)

Cho các số \(a,\ b,\ c>0\) và \(\frac{a+b}{3}=\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}.\) Tính giá trị biểu thức \(M=10\text{a}+b-7c+2017.\)

A. M = 2017.

B. M = 2018

C. M = 2019

D. M = 2020

Hướng dẫn

Chọn đáp án là: A

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và tư duy logic để biến đổi biểu thức tìm giá trị biểu thức M.

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{c+a}{5}=\frac{b+c}{4}=\frac{a+b}{3}=\frac{c+a-b-c+a+b}{5-4+3}=\frac{2\text{a}}{4}=\frac{a}{2}\) (1)

Từ (1) ta có: \(\frac{b+c}{4}=\frac{a+b}{3}\Leftrightarrow 3b+3c=4\text{a}+4b\Leftrightarrow b=3c-4\text{a}\) (2)

Thế (2) vào biểu thức M, ta có: M = 10a + 3c – 4a – 7c + 2017 = 6a – 4c + 2017 (3)

Từ (1) ta lại có: \(\frac{c+a}{5}=\frac{a}{2}\Leftrightarrow 2c+2\text{a}=5\text{a}\Leftrightarrow 2c=3\text{a}\Leftrightarrow 4c=6\text{a}\ \ (4)\)

Thế (4) vào (3) ta có: M = 6a – 6a + 2017 = 2017

Vậy M = 2017.

Chọn A