by Cho (C) là đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x – 2}}\). Tìm các điểm trên (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất:
A.
B. \(\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)\) và \(\left( {2 – \sqrt 3 ;1 – \sqrt 3 } \right)\)
C. \(\left( {1 – \sqrt 3 ;1 – \sqrt 3 } \right)\)
D. \(\left( {1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right)\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
+) Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
+) Gọi \(M(x_0; \,y_0)\) là điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số.
+) Dựa vào công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến từng đường tiệm cận.
+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm \(m\) thỏa mãn đề bài.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M\left( {m;\frac{{m + 1}}{{m – 2}}} \right) \in \left( C \right)\,\left( {m \ne 2} \right)\). Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận x = 2 và y = 1 là
\(S = \left| {m – 2} \right| + \left| {\frac{{m + 1}}{{m – 2}} – 1} \right| = \left| {m – 2} \right| + \frac{3}{{\left| {m – 2} \right|}} \ge 2\sqrt {\left| {m – 2} \right|.\frac{3}{{\left| {m – 2} \right|}}} = 2\sqrt 3 \)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left| {m – 2} \right| = \frac{3}{{\left| {m – 2} \right|}} \Leftrightarrow \left| {m – 2} \right| = \sqrt 3 \Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt 3 \)
Vậy có 2 điểm thỏa mãn bài toán là \({M_1}\left( {2 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right),{M_2}\left( {2 – \sqrt 3 ;1 – \sqrt 3 } \right)\)
Chọn B.
