Tháng Ba 29, 2024

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} – 2} \right)\sin x}}{{{x^3} – {x^2} – 6x}}\) là

Số đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} – 2} \right)\sin x}}{{{x^3} – {x^2} – 6x}}\) là

A. \(2.\)

B. \(0.\)

C. \(3.\)

D. \(1.\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là B

Phương pháp giải:

– Đồ thị hàm số y = f(x) nhận đường thẳng \(x = {x_0}\) là TCĐ khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y = – \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ – } y = – \infty \).

– Tính giới hạn bẳng phương pháp nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp, và sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1\).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge – 1\).

Xét phương trình mẫu số:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{x^3} – {x^2} – 6x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} – x – 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = – 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}y = \frac{{\left( {\sqrt {x + 1} – 2} \right)\sin x}}{{{x^3} – {x^2} – 6x}}\\y = \frac{{\left( {x + 1 – 4} \right)\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)\left( {x – 3} \right)}}\\y = \frac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\end{array}\)

Khi đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{1}{{\left( {1 + 2} \right)\left( {0 + 2} \right)}}.1 = \frac{1}{6}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{1}{{\left( {1 + 2} \right)\left( {0 + 2} \right)}}.1 = \frac{1}{6}\)

Suy ra x = 0 không là TCĐ của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{\sin 3}}{{60}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} y\)\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{\sin x}}{{\left( {\sqrt {x + 1} + 2} \right)x\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{\sin 3}}{{60}}\).

Suy ra x = 3 không là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho không có TCĐ.

Đáp án B.