Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x}{1+{{\sin }^{2}}x}dx}\) ta được:

Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x}{1+{{\sin }^{2}}x}dx}\) ta được:

A. ln2

B. 0

C. ln3

D. \(\frac{\pi }{2}\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là A

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ, đặt \(t={{\sin }^{2}}x\)

Lời giải chi tiết:

\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{\sin 2x}{1+{{\sin }^{2}}x}dx}=I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{2\sin x\cos x}{1+{{\sin }^{2}}x}dx}\)

Đặt \(t={{\sin }^{2}}x\Leftrightarrow dt=2\sin x\cos xdx\).

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow t = 0\\x = \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow t = 1\end{array} \right.,\) khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{dt}}{{1 + t}}} = \left. {\ln \left| {1 + t} \right|} \right|_0^1 = \ln 2 – \ln 1 = \ln 2\)

Chọn A.