Cho biểu thức\(P = \left( {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} – \frac{{4x + 2\sqrt x – 4}}{{x – 4}}} \right):\left( {\frac{2}{{2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x – x}}} \right).\) Tìm các giá trị của x để \(P = – 1\). A \(x = \frac{3}{{16}}.\) B \(x = \frac{9}{{17}}.\) C \(x = \frac{7}{{16}}.\) D \(x = \frac{9}{{16}}.\)

Cho biểu thức\(P = \left( {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} – \frac{{4x + 2\sqrt x – 4}}{{x – 4}}} \right):\left( {\frac{2}{{2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x – x}}} \right).\) Tìm các giá trị của x để \(P = – 1\).

A \(x = \frac{3}{{16}}.\)

B \(x = \frac{9}{{17}}.\)

C \(x = \frac{7}{{16}}.\)

D \(x = \frac{9}{{16}}.\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: D

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Sử dụng biểu thức liên hợp.

+) Đặt nhân tử chung.

+) Rút gọn các phân thức trước khi tiến hành tính toán.

+) Giải phương trình

+) Đối chiếu nghiệm với điều kiện đã tìm được ở ý a).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 0}\\{x \ne 4}\end{array}} \right.\)

\(P = – 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} – \frac{{4x + 2\sqrt x – 4}}{{x – 4}}} \right):\left( {\frac{2}{{2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x – x}}} \right) = – 1\\ \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt x }}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} – \frac{{4x + 2\sqrt x – 4}}{{x – 4}} = – \left( {\frac{2}{{2 – \sqrt x }} – \frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x – x}}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{2 + \sqrt x }}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} – \frac{{4x + 2\sqrt x – 4}}{{x – 4}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{2\sqrt x – x}} – \frac{2}{{2 – \sqrt x }}\\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {2 + \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} + \frac{{4x + 2\sqrt x – 4}}{{4 – x}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}} – \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{x + 4\sqrt x + 4 + 2\sqrt x – x + 4x + 2\sqrt x – 4}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{\sqrt x + 3 – 2\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{8\sqrt x + 4x}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 – \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 – \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 – \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow \frac{{4x}}{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}} = \frac{{3 – \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}}\\ \Leftrightarrow 4x = 3 – \sqrt x \\ \Leftrightarrow 4x + \sqrt x – 3 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\end{array}\)

Đặt \(\sqrt x = t,\,\,t > 0,\,\,t \ne 2\), khi đó pt \(\left( 1 \right)\) trở thành : \(4{t^2} + t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{4}\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = – 1\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow x = {t^2} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{9}{{16}}\) (TM ĐKXĐ)

Vậy \(x = \frac{9}{{16}}.\)