by Cho biểu thức: \(P = \left[ {\frac{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + 3}} – \frac{4}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x + 32}}{{8 – x\sqrt x }}} \right]:\left( {1 – \frac{2}{{2 + \sqrt x }}} \right).\)
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
b) Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 9 – 4\sqrt 5 .\)
c) Tìm các giá trị chính phương của \(x\) để \(P\) có giá trị nguyên.
A a) \(P= {{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}} \over {\sqrt x }}.\)
b) \(P=5\sqrt 5 + 10. \)
c) \(x=1.\)
B a) \(P= {{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}} \over {\sqrt x }}.\)
b) \(P=5\sqrt 5 + 10. \)
c) \(x=1\) hoặc \(x=16.\)
C a) \(P= {{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}} \over {\sqrt x }}.\)
b) \(P=5\sqrt 5 + 10. \)
c) \(x=16.\)
D a) \(P= {{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}} \over {\sqrt x }}.\)
b) \(P=5\sqrt 5 – 10. \)
c) \(x=1\) hoặc \(x=16.\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: B
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn biểu thức \(P.\)
Ta có: \(8 – x\sqrt x = 8 – {\left( {\sqrt x } \right)^3} = \left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {4 + 2\sqrt x + x} \right).\)
và \(1 – \frac{2}{{2 + \sqrt x }} = \frac{{2 + \sqrt x – 2}}{{2 + \sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\).
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2 – \sqrt x \ne 0\\8 – x\sqrt x \ne 0\\\sqrt x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 4\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ne 4\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}P = \left[ {\frac{{\sqrt x {{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + 3}} – \frac{4}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x + 32}}{{8 – x\sqrt x }}} \right]:\left( {1 – \frac{2}{{2 + \sqrt x }}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{\sqrt x \left( {x + 4\sqrt x + 4} \right)}}{{x + 2\sqrt x + 1 + 3}} – \frac{4}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x + 32}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{2 + \sqrt x – 2}}{{2 + \sqrt x }}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {\frac{{x\sqrt x + 4x + 4\sqrt x }}{{x + 2\sqrt x + 4}} – \frac{4}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x + 32}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}} \right]:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {x\sqrt x + 4x + 4\sqrt x } \right)\left( {2 – \sqrt x } \right) – 4\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right) + 8\sqrt x + 32}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ – 2x\sqrt x – {x^2} + 4x + 8\sqrt x – 4x – 8\sqrt x – 16 + 8\sqrt x + 32}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{ – {x^2} – 2x\sqrt x + 8\sqrt x + 16}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {8 – x\sqrt x } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}.\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}\\\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}.\end{array}\)
b) Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 9 – 4\sqrt 5 .\)
Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)
Với \(x = 9 – 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} – 2.\sqrt 5 .2 + {2^2} = {\left( {\sqrt 5 – 2} \right)^2}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 2} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 – 2} \right| = \sqrt 5 – 2\,\,\left( {do\,\,\sqrt 5 > 2} \right).\\ \Rightarrow P = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 – 2 + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt 5 – 2}} = \frac{5}{{\sqrt 5 – 2}} = \frac{{5\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{5 – 4}} = 5\sqrt 5 + 10.\end{array}\)
c) Tìm các giá trị chính phương của \(x\) để \(P\) có giá trị nguyên.
Điều kiện: \(x > 0,\,\,\,x \ne 4.\)
Ta có: \(P = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + 4 + \frac{4}{{\sqrt x }}.\)
Vì \(x\) là số chính phương \( \Rightarrow x \in N;\,\,\sqrt x \in N.\)
\(P\) có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{4}{{\sqrt x }} \in Z \Leftrightarrow \sqrt x \in U\left( 4 \right) \Leftrightarrow \sqrt x \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,4} \right\}.\)
Kết hợp với điều kiện \(x > 0,x \ne 4\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 1\\\sqrt x = 2\\\sqrt x = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\left( {tm} \right)\\x = 4\,\,\left( {ktm} \right)\\x = 16\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy với các giá trị \(x = 1\) hoặc \(x = 16\) thì \(P\) đạt giá trị nguyên.
