by Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x – 1}} – \frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x + 1}}} \right):\left( {\frac{1}{{\sqrt x + 1}} – \frac{{\sqrt x }}{{1 – \sqrt x }} + \frac{2}{{x – 1}}} \right)\)
a) Tính giá trị của P khi \(x = \frac{{\sqrt {7 – 4\sqrt 3 } }}{2}\). b) Tính các giá trị của x để \(P = \frac{1}{2}\).
A a)\(P = 20 – 12\sqrt 5 \).
b)\(x = 17 + 12\sqrt 2 \)hoặc \(x = 17 – 12\sqrt 2 \)
B a)\(P = 22 – 12\sqrt 3 \).
b)\(x = 17 + 12\sqrt 2 \)hoặc \(x = 17 – 12\sqrt 2 \)
C a)\(P = 20 – 12\sqrt 3 \).
b)\(x = 17 + 12\sqrt 2 \)hoặc \(x = 17 – 12\sqrt 2 \)
D a)\(P = 20 – 12\sqrt 3 \).
b)\(x = 47 + 12\sqrt 2 \)hoặc \(x = 17 – 12\sqrt 2 \)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
– Sử dụng biểu thức liên hợp.
– Rút gọn biểu thức.
Lời giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right) – \left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x – 1 + \sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) + 2}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \left( {\frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} – {{\left( {\sqrt x – 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right).\left( {\frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{x + 2\sqrt x + 1}}} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {\sqrt x + 1 – \sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 1 + \sqrt x – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
Vậy \(P = \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}\) (1)
a) Ta có \(x = \frac{{\sqrt {7 – 4\sqrt 3 } }}{2} = \frac{{\sqrt {{2^2} – 2.2.\sqrt 3 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\left| {2 – \sqrt 3 } \right|}}{2} = \frac{{2 – \sqrt 3 }}{2}\,\,\left( {Do\,\,2 – \sqrt 3 > 0} \right)\)
\( \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {\frac{{2 – \sqrt 3 }}{2}} = \frac{{\sqrt {4 – 2\sqrt 3 } }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2}} }}{2} = \frac{{\left| {\sqrt 3 – 1} \right|}}{2} = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{2}\,\,\left( {Do\,\,\sqrt 3 – 1 > 0} \right)\)
Thay \(\sqrt x = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{2}\) vào biểu thức P ta được:
\(P = \frac{{4\left( {\frac{{\sqrt 3 – 1}}{2}} \right)}}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 – 1}}{2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{8\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}}{{{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}} = \frac{{8\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}}{{4 + 2\sqrt 3 }} = \frac{{4\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}}{{2 + \sqrt 3 }} = 4\left( {\sqrt 3 – 1} \right)\left( {2 – \sqrt 3 } \right) = – 20 + 12\sqrt 3 \)
Vậy khi \(x = \frac{{\sqrt {7 – 4\sqrt 3 } }}{2}\) thì \(P = 20 – 12\sqrt 3 \).
b) Theo bài ra ta có \(P = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{4\sqrt x }}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2\sqrt x + 1 = 8\sqrt x \Leftrightarrow x – 6\sqrt x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = 3 + 2\sqrt 2 \\\sqrt x = 3 – 2\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 17 + 12\sqrt 2 \\x = 17 – 12\sqrt 2 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy với \(x = 17 + 12\sqrt 2 \)hoặc \(x = 17 – 12\sqrt 2 \) thì \(P = \frac{1}{2}\).
