by Cho biểu thức: \(P = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x} – 3}}{{x + \sqrt x – 2}} + \frac{1}{{\sqrt x – 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} – 2} \right):\frac{1}{{x – 1}}.\)
a) Tìm điều kiện xác định của \(P\) và rút gọn \(P.\)
b) Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 4 – 2\sqrt 3 .\)
c) Tìm các số tự nhiên \(x\) để \(\frac{1}{P}\) là một số tự nhiên.
A a) \(x \geq 0; \, x\neq 1\) và \(P= {\sqrt x + 1} . \)
b) \(P=3.\)
c) \(x=0.\)
B a) \(x \geq 0\) và \(P= {\sqrt x + 1} . \)
b) \(P=3.\)
c) \(x=0.\)
C a) \(x \geq 0\) và \(P={\left( {\sqrt x + 1} \right)^2}. \)
b) \(P=3.\)
c) \(x=0.\)
D a) \(x \geq 0; \, x\neq 1\) và \(P={\left( {\sqrt x + 1} \right)^2}. \)
b) \(P=3.\)
c) \(x=0.\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
a) Tìm điều kiện của \(x\) để \(P\) xác định.
Quy đồng mẫu, biến đổi và rút gọn biểu thức đã cho.
b) Biến đổi \(x = 4 – 2\sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\) rồi thay vào biểu thức, tính giá trị của biểu thức \(P.\)
c) Để \(\frac{1}{P}\) là số tự nhiên thì \(P = 1.\) Giải phương trình, tìm \(x\) rồi kết luận nghiệm.
Lời giải chi tiết:
a) Tìm điều kiện xác định của \(P\) và rút gọn \(P.\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x + \sqrt x – 2 \ne 0\\x – 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 1} \right) \ne 0\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x} – 3}}{{x + \sqrt x – 2}} + \frac{1}{{\sqrt x – 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} – 2} \right):\frac{1}{{x – 1}}\\ = \left( {\frac{{3x + 3\sqrt x – 3}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x – 1}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}} – 2} \right).\left( {x – 1} \right)\\ = \frac{{3x + 3\sqrt x – 3 + \sqrt x + 2 + \sqrt x – 1 – 2\left( {x + \sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\left( {\sqrt x – 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\\ = \frac{{3x + 5\sqrt x – 2 – 2x – 2\sqrt x + 4}}{{\sqrt x + 2}}.\left( {\sqrt x + 1} \right)\\ = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}}.\left( {\sqrt x + 1} \right)\\ = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}}.\left( {\sqrt x + 1} \right)\\ = {\left( {\sqrt x + 1} \right)^2}.\end{array}\)
b) Tính giá trị của \(P\) khi \(x = 4 – 2\sqrt 3 .\)
Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)
Ta có: \(x = 4 – 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} – 2.\sqrt 3 .1 + 1 = {\left( {\sqrt 3 – 1} \right)^2}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 3 – 1} \right| = \sqrt 3 – 1.\\ \Rightarrow P = {\left( {\sqrt 3 – 1 + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = 3.\end{array}\)
Vậy với \(x = 4 – 2\sqrt 3 \) thì \(P = 3.\)
c) Tìm các số tự nhiên \(x\) để \(\frac{1}{P}\) là một số tự nhiên.
Điều kiện: \(x \ge 0,\,\,x \ne 1.\)
Ta có: \(\frac{1}{P} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}.\)
Ta thấy với \(\forall x \ge 0\,\, \Rightarrow 0 < \frac{1}{P} \le 1 \Rightarrow \frac{1}{P} = 1\,\,\,\,\left( {do\,\,\frac{1}{P} \in \mathbb{N}} \right).\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\sqrt x + 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \sqrt x + 1 = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
Vậy \(x = 0\) thì \(\frac{1}{P}\) là số tự nhiên.
