Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{2a + 1}}{{\sqrt {{a^3}} – 1}} – \frac{{\sqrt a }}{{a + \sqrt a + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{a^3}} }}{{1 + \sqrt a }} – \sqrt a } \right)\). Hãy xét dấu của biểu thức \(S = P\sqrt {1 – a} \).
A \(S > 0\)
B \(S < 0\)
C \(S\le 0\)
D \(S\ge 0\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: B
Phương pháp giải:
– Sử dụng biểu thức liên hợp
– Rút gọn biểu thức
Lời giải chi tiết:
\(P = \left( {\frac{{2a + 1}}{{\sqrt {{a^3}} – 1}} – \frac{{\sqrt a }}{{a + \sqrt a + 1}}} \right).\left( {\frac{{1 + \sqrt {{a^3}} }}{{1 + \sqrt a }} – \sqrt a } \right)\)
ĐKXĐ: \(a \ge 0,\,\,a \ne 1\).
\(\begin{array}{l}P = \left[ {\frac{{2a + 1}}{{\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}} – \frac{{\sqrt a .\left( {\sqrt a – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}} \right].\left[ {\frac{{\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 – \sqrt a + a} \right)}}{{1 + \sqrt a }} – \sqrt a } \right]\\P = \frac{{2a + 1 – \left( {a – \sqrt a } \right)}}{{\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}.\left( {1 – \sqrt a + a – \sqrt a } \right)\\P = \frac{{\left( {a + \sqrt a + 1} \right)\left( {1 – 2\sqrt a + a} \right)}}{{\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}\\P = \frac{{{{\left( {\sqrt a – 1} \right)}^2}}}{{\sqrt a – 1}} \Leftrightarrow P = \sqrt a – 1\end{array}\)
\( \Rightarrow S = P\sqrt {1 – a} = \left( {\sqrt a – 1} \right)\sqrt {1 – a} \).
Kết hợp điều kiện của biểu thức \(P\), điều kiện có nghĩa của \(S\): \(0 \le a < 1\).
Khi đó: \(P = \sqrt a – 1 < 0\) và \(\sqrt {1 – a} > 0\).
Suy ra: \(S = P\sqrt {1 – a} < 0\)
Vậy \(S < 0\) với mọi \(x\) để biểu thức có nghĩa.