Cho biểu thức \(P = \left( {{{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{\sqrt x } \over {2 – \sqrt x }} + {{8\sqrt x } \over {x – 4}}} \right):\left( {2 – {{2\sqrt x + 3} \over {\sqrt x + 2}}} \right)\) Tính giá trị của \(P\) biết \(x = {8 \over {3 + \sqrt 5 }}.\) A \(P =4\) B \(P = 6 – 2\sqrt 5 \) C \(P = 3+\sqrt 5 \) D \(P = – 4\)

Cho biểu thức \(P = \left( {{{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{\sqrt x } \over {2 – \sqrt x }} + {{8\sqrt x } \over {x – 4}}} \right):\left( {2 – {{2\sqrt x + 3} \over {\sqrt x + 2}}} \right)\)

Tính giá trị của \(P\) biết \(x = {8 \over {3 + \sqrt 5 }}.\)

A \(P =4\)

B \(P = 6 – 2\sqrt 5 \)

C \(P = 3+\sqrt 5 \)

D \(P = – 4\)

Hướng dẫn Chọn đáp án là: D

Phương pháp giải:

+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.

+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.

+) Biến đổi \(x,\) thay giá trị \(x = \frac{8}{{3 + \sqrt 5 }}\,\,\,\left( {tm} \right)\) vào biểu thức \(P\) rồi tính giá trị biểu thức.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(x \ge 0;x \ne 4\)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{3\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 – \sqrt x }} + \frac{{8\sqrt x }}{{x – 4}}} \right):\left( {2 – \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}} \right)\\ = \left( {\frac{{3\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}} – \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}} + \frac{{8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}} \right):\left( {\frac{{2\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x + 2}} – \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 2}}} \right)\\ = \frac{{3x – 6\sqrt x – x – 2\sqrt x + 8\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}:\frac{{2\sqrt x + 4 – 2\sqrt x – 3}}{{\sqrt x + 2}}\\ = \frac{{2x}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x – 2} \right)}}.\left( {\sqrt x + 2} \right) = \frac{{2x}}{{\sqrt x – 2}}.\end{array}\)

Ta có : \(x = \frac{8}{{3 + \sqrt 5 }} = \frac{{8\left( {3 – \sqrt 5 } \right)}}{{{3^2} – 5}} = 2\left( {3 – \sqrt 5 } \right)\,\,\,\,\left( {tm} \right).\)

\( \Rightarrow \sqrt x = \sqrt {2\left( {3 – \sqrt 5 } \right)} = \sqrt {6 – 2\sqrt 5 } = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 – 1} \right)}^2}} = \left| {\sqrt 5 – 1} \right| = \sqrt 5 – 1.\)

Khi đó ta có: \(P = \frac{{2.\left( {6 – 2\sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt 5 – 1 – 2}} = \frac{{2.\left( {6 – 2\sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 5 + 3} \right)}}{{ – 4}} = – 4.\)