by Cho biểu thức \(M = \left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt {ab} + 1}} + {{\sqrt {ab} + \sqrt a } \over {\sqrt {ab} – 1}} – 1} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt {ab} + 1}} – {{\sqrt {ab} + \sqrt a } \over {\sqrt {ab} – 1}} + 1} \right)\)
a) Rút gọn \(M.\)
b) Tìm giá trị của M nếu \(a = 2 – \sqrt 3 ;\,\,\,\,b = {{\sqrt 3 – 1} \over {1 + \sqrt 3 }}.\)
A a) \(M=\sqrt{ab}\)
b) \(M=- 2 + \sqrt 3\)
B a) \(M=\sqrt{ab}\)
b) \(M= 2 + \sqrt 3\)
C a) \(M=-\sqrt{ab}\)
b) \(M=- 2 + \sqrt 3\)
D a) \(M=-\sqrt{ab}\)
b) \(M=- 2 – \sqrt 3\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện của \(a,\,\,b\) để biểu thức \(M\) xác định.
+) Quy đồng mẫu và biến đổi các biểu thức, từ đó rút gọn biểu thức đã cho.
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn \(M.\)
\(\begin{array}{l}M = \left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} + \frac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} – 1}} – 1} \right):\left( {\frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt {ab} + 1}} – \frac{{\sqrt {ab} + \sqrt a }}{{\sqrt {ab} – 1}} + 1} \right)\\ = \left( {\frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt {ab} – 1} \right) + \left( {\sqrt {ab} + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt {ab} + 1} \right) – \left( {\sqrt {ab} + 1} \right)\left( {\sqrt {ab} – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {ab} + 1} \right)\left( {\sqrt {ab} – 1} \right)}}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,:\left( {\frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt {ab} – 1} \right) – \left( {\sqrt {ab} + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt {ab} + 1} \right) + \left( {\sqrt {ab} + 1} \right)\left( {\sqrt {ab} – 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {ab} + 1} \right)\left( {\sqrt {ab} – 1} \right)}}} \right)\\ = \frac{{a\sqrt b – \sqrt a + \sqrt {ab} – 1 + ab + \sqrt {ab} + a\sqrt b + \sqrt a – ab + 1}}{{\left( {\sqrt {ab} + 1} \right)\left( {\sqrt {ab} – 1} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt {ab} + 1} \right)\left( {\sqrt {ab} – 1} \right)}}{{a\sqrt b – \sqrt a + \sqrt {ab} – 1 – ab – \sqrt {ab} – a\sqrt b – \sqrt a + ab – 1}}\\ = \frac{{2a\sqrt b + 2\sqrt {ab} }}{{ – 2\sqrt a – 2}} = \frac{{ – \sqrt {ab} \left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a + 1}} = – \sqrt {ab} .\end{array}\)
b. Tìm giá trị của \(M\) nếu \(a = 2 – \sqrt 3 ;\,\,\,\,b = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{{1 + \sqrt 3 }}.\)
\(a = 2 – \sqrt 3 ;\,\,\,\,b = \frac{{\sqrt 3 – 1}}{{1 + \sqrt 3 }} = \frac{{{{\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 – 1} \right)}} = 2 – \sqrt 3 \)
Khi đó ta có: \(M = – \sqrt {{{\left( {2 – \sqrt 3 } \right)}^2}} = – \left| {2 – \sqrt 3 } \right| = – 2 + \sqrt 3 .\)
