by Cho biểu thức \(P = \left( {{{4\sqrt x } \over {2 + \sqrt x }} + {{8x} \over {4 – x}}} \right):\left( {{{\sqrt x – 1} \over {x – 2\sqrt x }} – {2 \over {\sqrt x }}} \right)\)
a. Rút gọn \(P. \)
b. Tìm \(x\) để \(P = -1.\)
c. Tìm \(m\) để với mọi giá trị \(x > 9\) ta có: \(m\left( {\sqrt x – 3} \right)P > x + 1.\)
A a) \(P = {{4x} \over {\sqrt x – 2}}\)
b) x = 3/4
c) m > 5/18
B a) \(P = {{4x} \over {\sqrt x + 3}}\)
b) x = 9/16
c) m > 1/8
C a) \(P = {{4x} \over {\sqrt x – 2}}\)
b) x = 3/4
c) m > 1/8
D a) \(P = {{4x} \over {\sqrt x – 3}}\)
b) x = 9/16
c) m > 5/18
Hướng dẫn Chọn đáp án là: D
Phương pháp giải:
+) Tìm điều kiện xác định của biểu thức.
+) Quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi và rút gọn biểu thức.
+) Giải phương trình \(P = – 1,\) tìm \(x,\) đối chiếu với điều kiện rồi kết luận.
+) Giải bất phương trình đã cho với điều kiện \(x > 9\) rồi tìm \(m.\)
Lời giải chi tiết:
a) Rút gọn \(P.\)
Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\)
\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{4 – x}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x – 1}}{{x – 2\sqrt x }} – \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \left( {\frac{{4\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} + \frac{{8x}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}} \right):\left( {\frac{{\sqrt x – 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}} – \frac{2}{{\sqrt x }}} \right)\\ = \frac{{4\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right) + 8x}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}:\frac{{\sqrt x – 1 – 2\left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}}\\ = \frac{{8\sqrt x + 4x}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x – 2} \right)}}{{3 – \sqrt x }}\\ = \frac{{4\sqrt x \left( {2 + \sqrt x } \right)}}{{\left( {2 – \sqrt x } \right)\left( {2 + \sqrt x } \right)}}.\frac{{\sqrt x \left( {2 – \sqrt x } \right)}}{{\sqrt x – 3}}\\ = \frac{{4x}}{{\sqrt x – 3}}\end{array}\)
b) Tìm \(x\) để \(P = – 1.\)
Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\) .
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,P = – 1 \Leftrightarrow \frac{{4x}}{{\sqrt x – 3}} = – 1 \Leftrightarrow 4x + \sqrt x – 3 = 0\\ \Leftrightarrow 4x + 4\sqrt x – 3\sqrt x – 3 = 0 \Leftrightarrow 4\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right) – 3\left( {\sqrt x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {4\sqrt x – 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt x = – 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\sqrt x = \frac{3}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{9}{{16}}\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)
c) Tìm \(m\) để với mọi giá trị \(x > 9\) ta có: \(m\left( {\sqrt x – 3} \right)P > x + 1.\)
Điều kiện: \(x > 0,x \ne 4,x \ne 9\) .
\(\begin{array}{l}\forall x > 9:m\left( {\sqrt x – 3} \right)P > x + 1 \Leftrightarrow m\left( {\sqrt x – 3} \right).\frac{{4x}}{{\sqrt x – 3}} > x + 1\\ \Leftrightarrow m.4x > x + 1 \Leftrightarrow m > \frac{{x + 1}}{{4x}}\end{array}\)
Ta có: với mọi giá trị \(x > 9 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 9 + 1 = 10\\4x > 36\end{array} \right..\)
Vậy \(m > \frac{{10}}{{36}} = \frac{5}{{18}}.\)
