by Cho biểu thức: \(A = \left( {\frac{{a\sqrt a – 1}}{{a – \sqrt a }} – \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 2}}{{a – 2}}.\)
a) Tìm điều kiện của \(a\) để \(A\) xác định và rút gọn \(A.\)
b) Tìm \(a\) nguyên để \(A\) nguyên.
A a) ĐKXĐ: \( x>0; \, x\neq 1; \, x \neq 2 \) và \( A={{2\left( {a – 2} \right)} \over {a + 2}}. \)
b) \(a=6.\)
B a) ĐKXĐ: \( x \geq 0; \, x\neq 1; \, x \neq 2 \) và \( A={{2\left( {a – 2} \right)} \over {a + 2}}. \)
b) \(a=6.\)
C a) ĐKXĐ: \( x>0; \, x\neq 1; \, x \neq 2 \) và \( A={{2\left( {a – 2} \right)} \over {a + 2}}. \)
b) \(a=8.\)
D a) ĐKXĐ: \( x \geq 0; \, x\neq 1; \, x \neq 2 \) và \( A={{2\left( {a – 2} \right)} \over {a + 2}}. \)
b) \(a=8.\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: A
Phương pháp giải:
a) Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.
Quy đồng mẫu, biến đổi rồi rút gọn biểu thức đã cho.
b) Biến đổi biểu thức \(A\) về dạng \(m + \frac{n}{{MS}}\) với \(m,\,\,n \in \mathbb{Z}.\)
Từ đó, biểu thức \(A \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow n\,\,\, \vdots \,\,\,MS \Leftrightarrow MS \in U\left( n \right) \Rightarrow a = …\)
Đối chiếu với điều kiện của \(a\) rồi kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Tìm điều kiện của \(a\) để \(A\) xác định và rút gọn \(A.\)
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\a – \sqrt a \ne 0\\a + \sqrt a \ne 0\\a – 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right) \ne 0\\\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) \ne 0\\a \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ge 0\\\sqrt a \ne 0\\\sqrt a – 1 \ne 0\\a \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\a \ne 1\\a \ne 2\end{array} \right..\)
\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{{a\sqrt a – 1}}{{a – \sqrt a }} – \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 2}}{{a – 2}}\\ = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt a – 1} \right)\left( {a + \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a – 1} \right)}} – \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {a – \sqrt a + 1} \right)}}{{\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right)}}} \right].\frac{{a – 2}}{{a + 2}}\\ = \left( {\frac{{a + \sqrt a + 1}}{{\sqrt a }} – \frac{{a – \sqrt a + 1}}{{\sqrt a }}} \right).\frac{{a – 2}}{{a + 2}}\\ = \frac{{2\sqrt a }}{{\sqrt a }}.\frac{{a – 2}}{{a + 2}} = \frac{{2\left( {a – 2} \right)}}{{a + 2}}.\end{array}\)
b) Tìm \(a\) nguyên để \(A\) nguyên.
Điều kiện: \(a > 0,\,\,a \ne 1,\,\,a \ne 2.\)
Ta có: \(A = \frac{{2\left( {a – 2} \right)}}{{a + 2}} = \frac{{2\left( {a + 2} \right) – 8}}{{a + 2}} = 2 – \frac{8}{{a + 2}}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A \in Z \Leftrightarrow \left( {2 – \frac{8}{{a + 2}}} \right) \in Z \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right) \in U\left( 8 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {a + 2} \right) \in \left\{ {4;\,8} \right\}\,\,\left( {do\,\,a + 2\, > 2\,\,\forall \,x > 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = 4\\a + 2 = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\a = 6\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(a = 6\) thì \(A\) nguyên.
