by Cho biết \(\frac{a}{b} 0\). Chứng tỏ rằng \(\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + c}}\).
A. \(\frac{a}{b} \frac{{a + c}}{{b + c}}\)
D. \(\frac{a}{b} + \frac{{a + c}}{{b + c}}=\frac{2a}{b}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là: A
Hướng dẫn
giải chi tiết
Quy đồng mẫu số ta có:
\(\frac{a}{b} = \frac{{a(b + c)}}{{b(b + c)}} = \frac{{ab + ac}}{{b(b + c)}}\) và \(\frac{{a + c}}{{b + c}} = \frac{{(a + c)b}}{{(b + c)b}} = \frac{{ab + bc}}{{b(b + c)}}\).
So sánh \(ac + ab\) và \(bc + ab\).
Vì \(\frac{a}{b} < 1 = \frac{b}{b}\) nên \(a < b\).
Áp dụng các tính chất trên ta có: \(ac 0\);
\(ac + ab < bc + ab\).
Suy ra \(\frac{{ac + ab}}{{b(b + c)}} < \frac{{bc + ab}}{{b(b + c)}}\) hay \(\frac{a}{b} < \frac{{a + c}}{{b + c}}\).
