Tháng Năm 13, 2021

Cấp số cộng

Bài giảng “Cấp số cộng” giúp các em nắm được phương pháp giải các dạng toán như

1/ Xác định một dãy số có là cấp số cộng không.

2/ Tìm số hạng đầu và công sai, tổng của cấp số cộng.

3/ Chứng minh đẳng thức.

Nội dung bài học

1/ Cấp số cộng là một dãy số ( vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là:

(${{u}_{n}}$) là cấp số cộng $\Leftrightarrow \forall n\ge 2,{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}+d$

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

2/ Định lý 1: Nếu (${{u}_{n}}$) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là ${{u}_{k}}=\frac{{{u}_{k-1}}+{{u}_{k+1}}}{2}$

Hệ quả: Ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng $\Leftrightarrow a+c=2b$ .

3/  Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công sai d thì số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ của nó được xác định bởi công thức sau: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$

4/  Định lý 3: Giả sử $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng có công sai d.

Gọi ${{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{u}_{k}}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}$

( ${{S}_{n}}$ là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có :

${{S}_{n}}=\frac{n\left( {{u}_{1}}+{{u}_{n}} \right)}{2}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d \right]}{2}$ .

DẠNG 1: Chứng minh một dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số cộng.

PHƯƠNG PHÁP

Để chứng minh dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng, ta xét $A={{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}$

$\bullet $ Nếu A là hằng số thì $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=A$.

$\bullet $ Nếu A phụ thuộc vào n thì $\left( {{u}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.

Ví dụ: Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó:

a). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=19n-5$         b). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=-3n+1$

c). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1$     d). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}+10n$

LỜI GIẢI

a). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=19n-5$

Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=19\left( n+1 \right)-5-\left( 19n-5 \right)=19$. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=19$và số hạng đầu ${{u}_{1}}=19.1-5=14$.

b). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=-3n+1$

Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=-3(n+1)+1-(-3n+1)=-3$. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số cộng với công sai $d=-3$và số hạng đầu ${{u}_{1}}=-3.1+1=-2$.

c). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{n}^{2}}+n+1$

Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( n+1 \right)}^{2}}+\left( n+1 \right)+1-\left( {{n}^{2}}+n+1 \right)=2n+2$, phụ thuộc vào n

Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.

d). Dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}+10n$

Ta có ${{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n+1}}+10\left( n+1 \right)-\left[ {{\left( -1 \right)}^{n}}+10n \right]=-{{\left( -1 \right)}^{n}}+10-{{\left( -1 \right)}^{n}}=10-2{{\left( -1 \right)}^{n}}$, phụ thuộc vào n. Vậy $\left( {{u}_{n}} \right)$ không là cấp số cộng.

DẠNG 2: Tìm số hạng đầu tiên, công sai của cấp số cộng, tìm số hạng thứ k của cấp số cộng, tính tổng k số hạng đầu tiên.

PHƯƠNG PHÁP

Ta thiết lập một hệ phương trình gồm hai ẩn ${{u}_{1}}$ và d. Sau đó giải hệ phương trình này tìm được ${{u}_{1}}$ và d.

Muốn tìm số hạng thứ k, trước tiên ta phải tìm ${{u}_{1}}$ và d. Sau đó áp dụng công thức: ${{u}_{k}}={{u}_{1}}+\left( k-1 \right)d$.

Muốn tính tổng của k số hạng đầu tiên, ta phải tìm ${{u}_{1}}$ và d. Sau đó áp dụng công thức: ${{S}_{k}}=\frac{k\left( {{u}_{1}}+{{u}_{k}} \right)}{2}=\frac{k\left[ 2{{u}_{1}}+(k-1)d \right]}{2}$

Ví dụ: Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 20 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của các cấp số cộng sau, biết rằng:

a/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_5} = 19\\
{u_9} = 35
\end{array} \right.$

b/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} – {u_3} + {u_5} = 10\\
{u_4} + {u_6} = 26
\end{array} \right.$

c/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_3} + {u_5} = 14\\
{s_{12}} = 129
\end{array} \right.$

d/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_6} = 8\\
{u_2}^2 + {u_4}^2 = 16
\end{array} \right.$

LỜI GIẢI

a/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_5} = 19\\
{u_9} = 35
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Áp dụng công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$, ta có:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 4d = 19\\
{u_1} + 8d = 35
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 3\\
d = 4
\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=3$, công sai $d=4$.

Số hạng thứ 20: ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=3+19.4=79$.

Tổng của 20 số hạng đầu tiên: ${{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.3+19.4 \right)=820$

b/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} – {u_3} + {u_5} = 10\\
{u_4} + {u_6} = 26
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Ta cũng áp dụng công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + d – \left( {{u_1} + 2d} \right) + {u_1} + 4d = 10\\
{u_1} + 3d + {u_1} + 5d = 26
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 3d = 10\\
2{u_1} + 8d = 26
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 1\\
d = 3.
\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=1$, công sai $d=3$.

Số hạng thứ 20: ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=1+19.3=58$.

Tổng của 20 số hạng đầu tiên: ${{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.1+19.3 \right)=590$

c/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_3} + {u_5} = 14\\
{s_{12}} = 129
\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)$

Áp dụng công thức ${{u}_{n}}={{u}_{1}}+\left( n-1 \right)d$, ${{S}_{n}}=\frac{n\left[ 2{{u}_{1}}+(n-1)d \right]}{2}$ Ta có:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 2d + {u_1} + 4d = 14\\
6\left( {{u_1} + {u_{{\kern 1pt} 12}}} \right) = 129
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{u_1} + 6d = 14\\
12{u_1} + 66d = 129
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = \frac{5}{2}\\
d = \frac{3}{2}.
\end{array} \right.$

Vậy số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=\frac{5}{2}$, công sai $d=\frac{3}{2}$.

Số hạng thứ 20: ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=\frac{5}{2}+19.\frac{3}{2}=31$.

Tổng của 20 số hạng đầu tiên: ${{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.\frac{5}{2}+19.\frac{3}{2} \right)=335$

d/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_6} = 8\\
{u_2}^2 + {u_4}^2 = 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + 5d = 8\\
{\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 3d} \right)^2} = 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 8 – 5d\\
{\left( {8 – 5d + d} \right)^2} + {\left( {8 – 5d + 3d} \right)^2} = 16
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} = 8 – 5d\\
{\left( {8 – 4d} \right)^2} + {\left( {8 – 2d} \right)^2} = 16{\rm{ }}\left( * \right)
\end{array} \right.$

 

Giải $\left( * \right)$ :$20{{d}^{2}}-96d+112=0\Leftrightarrow d=\frac{14}{5}\text{ }\vee \text{ d = 2}$.

Với$d=\frac{14}{5}\Rightarrow {{u}_{1}}=-6$

Số hạng thứ 20: ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=-6+19.\frac{14}{5}=\frac{236}{5}$.

Tổng của 20 số hạng đầu tiên: ${{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.(-6)+19.\frac{14}{5} \right)=412$

Với$d=2\Rightarrow {{u}_{1}}=-2$

Số hạng thứ 20: ${{u}_{20}}={{u}_{1}}+19d=-2+19.2=36$.

Tổng của 20 số hạng đầu tiên: ${{S}_{20}}=\frac{20\left( 2{{u}_{1}}+19d \right)}{2}=10\left( 2.(-2)+19.2 \right)=340$

DẠNG 3: Dựa vào tính chất của cấp số cộng, chứng minh đẳng thức:

Ví dụ:  Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng:

a).${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$

b).${{a}^{2}}+8bc={{\left( 2b+c \right)}^{2}}$

c).${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}},{{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}},{{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}$ là cấp số cộng.

LỜI GIẢI

a). Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng: $a+c=2b\Leftrightarrow a=2b-c$

Ta có:${{a}^{2}}-2ab={{a}^{2}}-a\left( a+c \right)=-ac$ $=-c\left( 2b-c \right)={{c}^{2}}-2bc$

Vậy${{a}^{2}}-2ab={{c}^{2}}-2bc\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab.$

b). Ta có ${{a}^{2}}+8bc={{\left( 2b-c \right)}^{2}}+8bc$

$=4{{b}^{2}}-4bc+{{c}^{2}}+8bc$ $=4{{b}^{2}}+4bc+{{c}^{2}}$ $={{\left( 2b+c \right)}^{2}}.$

c). Ta cần chứng minh:

$\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}} \right)+\left( {{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}} \right)=2\left( {{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}} \right)$

$\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+ab+bc={{a}^{2}}+2ac+{{c}^{2}}$

$\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+b\left( a+c \right)={{\left( a+c \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}+2{{b}^{2}}={{\left( 2b \right)}^{2}}$

$\Leftrightarrow 4{{b}^{2}}=4{{b}^{2}}$ (đúng).