Cấp số nhân

Bài giảng “Cấp số nhân” giúp các em nắm được phương pháp giải các dạng toán như

1/ Xác định một dãy số có là cấp số cộng không.

2/ Tìm số hạng đầu và công sai, tổng của cấp số cộng.

3/ Chứng minh đẳng thức.

Nội dung bài học

1). Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và một số q không đổi, nghĩa là:

$\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân $\Leftrightarrow \forall n\ge 2,{{u}_{n}}={{u}_{n-1}}.q$

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2). Định lý 1: Nếu $\left( {{u}_{n}} \right)$ là một cấp số nhân thì kể từ số hạng thứ hai, bình phương của mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) bằng tích của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là:  $u_{k}^{2}={{u}_{k-1}}.{{u}_{k+1}}(k\ge 2)$  .

Hệ quả: Nếu a, b, c là ba số khác 0, thì “ba số a, b, c ( theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi $$ ”.

3). Định lý 2: Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu ${{u}_{1}}$ và công bội $q\ne 0$ thì số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$ của nó được tính bởi công thức: ${{u}_{n}}={{u}_{1}}.{{q}^{n-1}}$  .

4). Định lý 3: Giả sử (${{u}_{n}}$) là một cấp số nhân có công bội q. Gọi ${{S}_{n}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{{{u}_{k}}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}({{S}_{n}}$ là tổng  của số hạng đầu tiên của cấp số nhân). Ta có:

+/  Nếu $q=1$ thì ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}$ .

+/ Nếu $q\ne 1$ thì ${{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q},q\ne 1$

PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.

Vấn đề 1: Chứng minh một dãy  (${{u}_{n}}$)  là cấp số nhân.

PHƯƠNG PHÁP

Chứng minh $\forall n\ge 1,{{u}_{n+1}}={{u}_{n}}.q$ trong đó q là một số không đổi.

Nếu ${{u}_{n}}\ne 0$ với mọi $n\in \mathbb{N}*$ thì ta lập tỉ số $T=\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}$

$*$ T là hằng số thì  (${{u}_{n}}$)  là cấp số nhân có công bội $q=T$.

$*$ T phụ thuộc vào n thì  (${{u}_{n}}$)  không là cấp số nhân.

Ví dụ: Xét trong các dãy số số sau, dãy số nào là cấp số nhân, (nếu có) tìm công bối của cấp số nhân đó:

a). ${{u}_{n}}={{(-3)}^{2n+1}}$    b). ${{u}_{n}}={{(-1)}^{n}}{{.5}^{3n+2}}$

LỜI GIẢI

a). Ta có $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{(-3)}^{2n+3}}}{{{(-3)}^{2n+1}}}={{(-3)}^{2}}=9$ (không đổi). Kết luận $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q=9$.

b). Ta có $\frac{{{u}_{n+1}}}{{{u}_{n}}}=\frac{{{(-1)}^{n+1}}{{.5}^{3(n+1)+2}}}{{{(-1)}^{n}}{{.5}^{3n+2}}}=-{{1.5}^{3}}=-125$ (không đổi). Kết luận $\left( {{u}_{n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q=-125$.

DẠNG 2: Xác định số hạng đầu công bội, xác định số hạng thứ k, tính tổng của n số hạng đầu tiên:

PHƯƠNG PHÁP

Dựa vào giả thuyết, ta lập một hệ phương trình chứa công bội q và số hạng đầu ${{u}_{1}}$, giải hệ phương trình này tìm được q và ${{u}_{1}}$.

Để xác định số hạng thứ k, ta sử dụng công thức: ${{u}_{k}}={{u}_{1}}.{{q}^{k-1}}$.

Để tính tổng của n số hạng , ta sử dụng công thức: ${{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q},q\ne 1$. Nếu $q=1$ thì ${{u}_{1}}={{u}_{2}}={{u}_{3}}=…={{u}_{n}}$, do đó ${{S}_{n}}=n{{u}_{1}}$.

Ví dụ 1:  Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:

a/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} = 51\\
{u_2} + {u_6} = 102
\end{array} \right.$

b/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 135\\
{u_4} + {u_5} + {u_6} = 40
\end{array} \right.$

c/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} = 6\\
{S_3} = 43.
\end{array} \right.$

LỜI GIẢI

a/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} = 51\\
{u_2} + {u_6} = 102
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\
{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51{\rm{ }}\left( * \right)\\
{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102{\rm{ }}\left( { * * } \right)
\end{array} \right.$

Lấy$\frac{\left( ** \right)}{\left( * \right)}\Leftrightarrow \frac{{{u}_{1}}q\left( 1+{{q}^{4}} \right)}{{{u}_{1}}\left( 1+{{q}^{4}} \right)}=\frac{102}{51}$ $\Leftrightarrow q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{51}{1+{{q}^{4}}}=\frac{51}{17}=3.$

Kết luận có công bội $q=2$và số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=3$.

Kết luận:${{u}_{1}}=3$ và$q=2$

b/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 135\\
{u_4} + {u_5} + {u_6} = 40
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 135\\
{u_1}.{q^3} + {u_1}{q^4} + {u_1}{q^5} = 40
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 135{\rm{ }}\left( * \right)\\
{u_1}{q^3}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 40{\rm{ }}\left( { * * } \right)
\end{array} \right.$

Lấy$\frac{\left( ** \right)}{\left( * \right)}\Leftrightarrow \frac{{{u}_{1}}{{q}^{3}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}{{{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}=\frac{40}{135}$ $\Leftrightarrow {{q}^{3}}=\frac{8}{27}\Leftrightarrow q=\frac{2}{3}$

$\Rightarrow {{u}_{1}}=\frac{135}{1+q+{{q}^{2}}}=\frac{1215}{19}.$

Kết luận có công bội $q=\frac{2}{3}$và số hạng đầu tiên ${{u}_{1}}=\frac{1215}{19}$.

c/ $\left\{ \begin{array}{l}
{u_2} = 6\\
{S_3} = 43
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q = 6\\
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 43
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q = 6\\
{u_1} + {u_1}q + {u_1}{q^2} = 43
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}q = 6{\rm{ }}\left( * \right)\\
{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 43{\rm{ }}\left( { * * } \right)
\end{array} \right.$

Lấy$\frac{\left( * \right)}{\left( ** \right)}\Leftrightarrow \frac{{{u}_{1}}q}{{{u}_{1}}\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)}=\frac{6}{43}$

$\Leftrightarrow 43q=6\left( 1+q+{{q}^{2}} \right)$ $\Leftrightarrow 6{{q}^{2}}-37q+6=0$ $\Leftrightarrow q=6\text{ }\vee \text{ }q=\frac{1}{6}$

Với$q=6\Rightarrow {{u}_{1}}=1$. Với$q=\frac{1}{6}\Rightarrow {{u}_{1}}=36.$

Kết luận $\left\{ \begin{array}{l}
q = 6\\
{u_1} = 1
\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}
q = \frac{1}{6}\\
{u_1} = 36
\end{array} \right.$

Ví dụ 2: Cho CSN  có các số hạng thỏa: $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} = 51\\
{u_2} + {u_6} = 102
\end{array} \right.$

a). Tìm số hạng đầu và công bội của CSN.

b). Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 3069?

c). Số 12288 là số hạng thứ mấy?

LỜI GIẢI

a). Ta có $\left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_5} = 51\\
{u_2} + {u_6} = 102
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\
{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{u_1}(1 + {q^4}) = 51{\rm{ }}( * )\\
{u_1}q(1 + {q^4}) = 102{\rm{ }}( * * )
\end{array} \right.$

Lấy $\frac{(**)}{(*)}\Leftrightarrow \frac{{{u}_{1}}q(1+{{q}^{4}})}{{{u}_{1}}(1+{{q}^{4}})}=\frac{102}{51}\Leftrightarrow q=2\Rightarrow {{u}_{1}}=3$.

b). Có ${{S}_{n}}=3069\Leftrightarrow {{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=3069\Leftrightarrow 3.\frac{1-{{2}^{n}}}{1-2}=3069\Leftrightarrow {{2}^{n}}=1024\Rightarrow n=10$. Kết luận tổng của 10 số hạng đầu tiên bằng 3069.

c).Có ${{u}_{k}}=12288\Leftrightarrow {{u}_{1}}.{{q}^{k-1}}=12288\Leftrightarrow {{3.2}^{k-1}}=12288\Leftrightarrow {{2}^{k-1}}=4096={{2}^{12}}$

$\Rightarrow k-1=12\Leftrightarrow k=13$. Kết luận số 12288 là số hạng thứ 13.

Ví dụ 3: Tính các tổng sau:

a). ${{S}_{n}}=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+\cdot \cdot \cdot +{{2}^{n}}$

b).  ${{S}_{n}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{2}^{3}}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{{{2}^{n}}}$

c). ${{S}_{n}}={{\left( 3+\frac{1}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 9+\frac{1}{9} \right)}^{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{\left( {{3}^{n}}+\frac{1}{{{3}^{n}}} \right)}^{2}}$

d). ${{S}_{n}}=6+66+666+\cdot \cdot \cdot +\underbrace{666…6}_{n\text{ so 6}}$

LỜI GIẢI

a). Ta có dãy số $2,{{2}^{2}},{{2}^{3}},\cdot \cdot \cdot ,{{2}^{n}}$ là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu ${{u}_{1}}=2$ và công bội $q=\frac{{{2}^{2}}}{2}=2$. Do đó ${{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=2.\frac{1-{{2}^{n}}}{1-2}=2\left( {{2}^{n}}-1 \right)$ .

b). Ta có dãy số $\frac{1}{2},\frac{1}{{{2}^{2}}},\frac{1}{{{2}^{3}}},\cdot \cdot \cdot ,\frac{1}{{{2}^{n}}}$ là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu ${{u}_{1}}=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{\frac{1}{{{2}^{2}}}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$. Do đó ${{S}_{n}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=\frac{1}{2}.\frac{1-{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{{{2}^{n}}}$.

c). ${{S}_{n}}={{\left( 3+\frac{1}{3} \right)}^{2}}+{{\left( 9+\frac{1}{9} \right)}^{2}}+\cdot \cdot \cdot +{{\left( {{3}^{n}}+\frac{1}{{{3}^{n}}} \right)}^{2}}$

$={{3}^{2}}+2+\frac{1}{{{3}^{2}}}+{{3}^{4}}+2+\frac{1}{{{3}^{4}}}+\cdot \cdot \cdot +{{3}^{2n}}+2+\frac{1}{{{3}^{2n}}}$

$=\left( {{3}^{2}}+{{3}^{4}}+\cdot \cdot \cdot +{{3}^{2n}} \right)+\left( \frac{1}{{{3}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{4}}}+\cdot \cdot \cdot +\frac{1}{{{3}^{2n}}} \right)+\underbrace{2+2+2+\cdot \cdot \cdot +2}_{n}$

Có dãy số ${{3}^{2}},{{3}^{4}},\cdot \cdot \cdot ,{{3}^{2n}}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu ${{u}_{1}}={{3}^{2}}$ và công bội $q=\frac{{{3}^{4}}}{{{3}^{2}}}=9$. Do đó ${{S}_{1}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=9.\frac{1-{{9}^{n}}}{1-9}=\frac{9}{8}\left( {{9}^{n}}-1 \right)$ .

Có dãy số $\frac{1}{{{3}^{2}}},\frac{1}{{{3}^{4}}},\cdot \cdot \cdot ,\frac{1}{{{3}^{2n}}}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu ${{u}_{1}}=\frac{1}{{{3}^{2}}}$ và công bội $q=\frac{1}{9}$. Do đó ${{S}_{1}}={{u}_{1}}.\frac{1-{{q}^{n}}}{1-q}=\frac{1}{9}.\frac{1-\frac{1}{{{9}^{n}}}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{1}{8}\left( 1-\frac{1}{{{9}^{n}}} \right)=\frac{{{9}^{n}}-1}{{{8.9}^{n}}}$ .

Vậy ${{S}_{n}}=\frac{9}{8}\left( {{9}^{n}}-1 \right)+\frac{{{9}^{n}}-1}{{{8.9}^{n}}}+2n=\frac{\left( {{9}^{n}}-1 \right)\left( {{9}^{n+1}}+1 \right)}{{{8.9}^{n}}}+2n$.

d). ${{S}_{n}}=6+66+666+\cdot \cdot \cdot +\underbrace{666…6}_{n\text{ so 6}}=\frac{6}{9}\left( 9+99+999+\cdot \cdot \cdot +\underbrace{999…9}_{n} \right)$

$=\frac{2}{3}\left[ (10-1)+(100-1)+(1000-1)+\cdot \cdot \cdot +({{10}^{n}}-1) \right]$

$=\frac{2}{3}\left[ 10+{{10}^{2}}+{{10}^{3}}+\cdot \cdot \cdot +{{10}^{n}}-n \right]=\frac{2}{3}\left[ 10.\frac{{{10}^{n}}-1}{10-1}-n \right]=\frac{20}{27}\left( {{10}^{n}}-1 \right)-\frac{2n}{3}$.

DẠNG 3: Dựa vào tính chất của cấp số nhân, chứng minh đẳng thức:

Ví dụ :  Cho a, b, c, d là bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Chứng minh:

$a).\ {{\left( ab+bc+ca \right)}^{3}}=abc{{\left( a+b+c \right)}^{3}}$

$b).\text{ }\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)={{\left( ab+bc \right)}^{2}}$

$c).\text{ }\left( a+b+c \right)\left( a-b+c \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$

d). ${{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}+{{\left( d-b \right)}^{2}}={{\left( a-d \right)}^{2}}$

e). ${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$

LỜI GIẢI

Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, nên có $ac={{b}^{2}}$.

a).  Ta có $abc{{\left( a+b+c \right)}^{3}}={{b}^{3}}{{\left( a+b+c \right)}^{3}}={{\left( ab+{{b}^{2}}+bc \right)}^{3}}={{\left( ab+bc+ca \right)}^{3}}$ (đpcm).

b).  Ta có: $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)={{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{a}^{2}}{{c}^{2}}+{{b}^{4}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{a}^{2}}{{b}^{2}}+2{{b}^{4}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}$

$={{a}^{2}}{{b}^{2}}+2ab.bc+{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{\left( ab+bc \right)}^{2}}$(đpcm).

c). Ta có $\left( a+b+c \right)\left( a-b+c \right)=\left[ \left( a+c \right)+b \right]\left[ \left( a+c \right)-b \right]={{\left( a+c \right)}^{2}}-{{b}^{2}}$

$={{a}^{2}}+2ac+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ (đpcm).

d). Vì a, b, c, d lập thành CSN nên có: $a.d=bc,a.c={{b}^{2}},b.d={{c}^{2}}$

Khai triển: ${{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}+{{\left( d-b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2{{b}^{2}}+2{{c}^{2}}+{{d}^{2}}-2bc-2ca-2bd$

$\begin{array}{l}
= {a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} + {d^2} – 2ad – 2{b^2} – 2{c^2}\\
= {a^2} – 2ad + {d^2}\\
= {\left( {a – d} \right)^2}
\end{array}$

e). Có: ${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)=\frac{{{b}^{2}}{{c}^{2}}}{a}+\frac{{{a}^{2}}{{c}^{2}}}{b}+\frac{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}{c}$ (1).  Ta có $ac = {b^2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a{c^3} = {b^2}{c^2}\\
{a^3}c = {b^2}{a^2}\\
{a^2}{c^2} = {b^4}
\end{array} \right.$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\left( \frac{1}{{{a}^{3}}}+\frac{1}{{{b}^{3}}}+\frac{1}{{{c}^{3}}} \right)=\frac{a{{c}^{3}}}{a}+\frac{{{b}^{4}}}{b}+\frac{{{a}^{3}}c}{c}={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}$ (điều phải chứng minh).