Biết \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} – z + 1 = 0.\) Tính \(\left| {z_1^3 + z_2^3} \right|.\)

Biết \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} – z + 1 = 0.\) Tính \(\left| {z_1^3 + z_2^3} \right|.\)

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(4\)

D. \(2\)

Hướng dẫn

Chọn đáp án là D

Phương pháp giải:

Cách 1: Giải phương trình đã cho tìm \({z_1},\,\,{z_2}\) rồi tính biểu thức đề bài cho.

Cách 2: Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1\\{z_1}{z_2} = 1\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(z_1^3 + z_2^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} – 3{z_1}{z_2}} \right]\) rồi tính modun hai vế.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình: \({z^2} – z + 1 = 0\)

Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 1\\{z_1}{z_2} = 1\end{array} \right..\)

Theo đề bài ta có: \(z_1^3 + z_2^3 = \left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} – 3{z_1}{z_2}} \right]\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow z_1^3 + z_2^3 = 1\left( {{1^2} – 3} \right)\\ \Leftrightarrow z_1^3 + z_2^3 = – 2\\ \Rightarrow \left| {z_1^3 + z_2^3} \right| = \left| { – 2} \right| = 2.\end{array}\)

Chọn D.