by Biết \(x + y = 3\), tính giá trị của biểu thức \(A = {x^3} – 2{y^2} + {y^3} – 2{x^2} + 3xy\left( {x + y} \right) – 4xy + 6\)
A. \(A = 10\)
B. \(A = 12\)
C. \(A = 15\)
D. \(A = 18\)
Hướng dẫn Chọn đáp án là: C
Phương pháp giải:
Chuyển biểu thức \(A\) về ẩn \(x + y\) và \(xy\) bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức:
\(\begin{array}{l}{A^3} + {B^3} = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} – AB + {B^2}} \right);\\{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2} \Rightarrow {A^2} + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2} – 2AB\end{array}\)
Sau đó thay \(x + y = 3\) vào \(A\) và rút gọn \(A\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}A = {x^3} – 2{y^2} + {y^3} – 2{x^2} + 3xy\left( {x + y} \right) – 4xy + 6\\\,\,\,\,\, = {x^3} + {y^3} – 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) + 3xy\left( {x + y} \right) – 4xy + 6\\\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} – xy + {y^2}} \right) – 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 2xy} \right] + xy\left[ {3\left( {x + y} \right) – 4} \right] + 6\\\,\,\,\,\, = \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 3xy} \right] – 2\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} – 2xy} \right] + xy\left[ {3\left( {x + y} \right) – 4} \right] + 6\end{array}\)
Thay \(x + y = 3\) vào \(A\) được:
\(\begin{array}{l}A = 3\left[ {{3^2} – 3xy} \right] – 2\left[ {{3^2} – 2xy} \right] + xy\left[ {3.3 – 4} \right] + 6\\\,\,\,\,\, = 3\left( {9 – 3xy} \right) – 2\left( {9 – 2xy} \right) + 5xy + 6\\\,\,\,\,\, = 27 – 9xy – 18 + 4xy + 5xy + 6\\\,\,\,\,\, = 15\end{array}\)
Vậy \(A = 15\) với \(x + y = 3\).
Chọn C.
