Biết rằng $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+…+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\frac{a{{n}^{2}}+bn}{c{{n}^{2}}+dn+16}$, trong đó $a,b,c,d$ và $n$ là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $T=\left( a+c \right)\left( b+d \right)$. là :

Biết rằng $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+…+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}=\frac{a{{n}^{2}}+bn}{c{{n}^{2}}+dn+16}$, trong đó $a,b,c,d$ và $n$ là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức $T=\left( a+c \right)\left( b+d \right)$. là :

C. $T=75$.

B. $T=364$.

C. $T=300$.

D. $T=256$.

Hướng dẫn

Đáp án C.

Phân tích phần tử đại diện, ta có: $\frac{1}{k\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)}=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{k\left( k+1 \right)}-\frac{1}{\left( k+1 \right)\left( k+2 \right)} \right]$.

Suy ra: $\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+…+\frac{1}{n\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)}$

$=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-.\frac{1}{3.4}+…+\frac{1}{n\left( n+1 \right)}-\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right]$

$=\frac{1}{2}\left[ \frac{1}{2}-\frac{1}{\left( n+1 \right)\left( n+2 \right)} \right]$=$\frac{{{n}^{2}}+3n}{4{{n}^{2}}+12n+8}=\frac{2{{n}^{2}}+6n}{8{{n}^{2}}+24n+16}$.

Đối chiếu với hệ số, ta được: $a=2;b=6;c=8;d=24$.

Suy ra: $T=\left( a+c \right)\left( b+d \right)=300$.