by Cho hình lập phương$ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh$AB$, $BC$,${C}'{D}’$. Xác định góc giữa hai đường thẳng $MN$ và$AP$.
C. ${{45}^{0}}$.
B. ${{30}^{0}}$.
C. ${{60}^{0}}$.
D. ${{90}^{0}}$
Hướng dẫn
Đáp án C.
Phương pháp 1: Giả sử hình lập phương có cạnh bằng $a$ và $MN\text{//}AC$ nên: $\left( \widehat{MN,AP} \right)=\left( \widehat{AC,AP} \right)$. Ta tính góc $\widehat{PAC}$.
Vì $\Delta {A}'{D}’P$ vuông tại ${D}’$ nên ${A}’P=\sqrt{{A}'{{{{D}’}}^{2}}+{D}'{{P}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$.
$\Delta A{A}’P$ vuông tại ${A}’$ nên $AP=\sqrt{{A}'{{A}^{2}}+{A}'{{P}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{3a}{2}$.
$\Delta C{C}’P$ vuông tại ${C}’$ nên $CP=\sqrt{C{{{{C}’}}^{2}}+{C}'{{P}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$
Ta có $AC$ là đường chéo của hình vuông $ABCD$ nên $AC=$ $a\sqrt{2}$
Áp dụng định lý cosin trong tam giác $ACP$ ta có:
$\begin{align}
& C{{P}^{2}}=A{{C}^{2}}+A{{P}^{2}}-2AC.AP.cos\widehat{CAP} \\
& \Rightarrow cos\widehat{CAP}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\
& \Rightarrow cos\widehat{CAP}=45{}^\circ <90{}^\circ \\
\end{align}$
Nên $\left( \widehat{AC;AP} \right)=\widehat{CAP}=45{}^\circ $ hay $\left( \widehat{MN;AP} \right)=45{}^\circ $. Chọn C.
Phương pháp 2: Ta có $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AP}=\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AP} \right|.\cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AP} \right)$$\Rightarrow \cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AP} \right)=\frac{\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AP}}{\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AP} \right|}\,\,\left( * \right)$
Ta có: $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AP}=\left( \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN} \right)\left( \overrightarrow{A{A}’}+\overrightarrow{{A}'{D}’}+\overrightarrow{{D}’P} \right)$
$=\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{A{A}’}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{{A}'{D}’}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{{D}’P}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{A{A}’}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{{A}'{D}’}+\overrightarrow{BN}.\overrightarrow{{D}’P}$
$=0+0+\frac{a}{2}.\frac{a}{2}+0+\frac{a}{2}.a+0=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\left( 1 \right)$
$\left| \overrightarrow{MN} \right|.\left| \overrightarrow{AP} \right|=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{3\sqrt{2}{{a}^{2}}}{4}\left( 2 \right)$
Thay $\left( 1 \right),\left( 2 \right)$ vào $\left( * \right)$ ta được: $\cos \left( \overrightarrow{MN},\overrightarrow{AP} \right)=\frac{\frac{3{{a}^{2}}}{4}}{\frac{3\sqrt{2}{{a}^{2}}}{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{\left( MN,AP \right)}={{45}^{0}}.$
