(0,5đ) Chứng minh \(\frac{{3 – 4x}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{{{(2 – x)}^2}}}{{1 + {x^2}}} – 1\). Tìm \(x\) để \(A = \frac{{3 – 4x}}{{1 + {x^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

(0,5đ) Chứng minh \(\frac{{3 – 4x}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{{{(2 – x)}^2}}}{{1 + {x^2}}} – 1\). Tìm \(x\) để \(A = \frac{{3 – 4x}}{{1 + {x^2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\frac{{{{(2 – x)}^2}}}{{1 + {x^2}}} – 1 = \frac{{4 – 4x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}} – 1 = \frac{{4 – 4x + {x^2}}}{{1 + {x^2}}} – \frac{{1 + {x^2}}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{3 – 4x}}{{1 + {x^2}}}\) (đpcm)

Suy ra \(A = \frac{{3 – 4x}}{{1 + {x^2}}} = \frac{{{{(2 – x)}^2}}}{{1 + {x^2}}} – 1 \geqslant – 1\) vì \(\frac{{{{(2 – x)}^2}}}{{1 + {x^2}}} \geqslant 0,\forall x\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2 – x = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Vậy \(A\) đạt GTNN là \( – 1\) khi \(x = 2\).