by Xác định giá trị của m để hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\)nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.
A. \(m=\frac{9}{4}\)
B. \(m = – \frac{9}{4}\)
C. \(m = \frac{9}{2}\)
D. \(m=-\frac{9}{2}\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng \(1 \Leftrightarrow \) hàm số có \(y'<0\) và phương trình \(y’=0\) có hai nghiệm \(x_1,\, \, x_2\) sao cho \(|x_1-x_2|=1.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y’ = 3{x^2} + 6x + m\)
Hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1 thì pt \(y’ = 0\) phải có hai nghiệm phân biệt \({x_1};\,{x_2}\) và \(|{x_1} – {x_2}| = 1\)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ‘ > 0\\|{x_1} – {x_2}| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 – 3m > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right.\)(*).
Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = – 2\\{x_1}{x_2} = \frac{m}{3}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\4 – \frac{4}{3}m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m = \frac{9}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \frac{9}{4}\).
Chọn A.
