by Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số \(y=x+m\left( \sin x+\cos x \right)\) đồng biến trên R.
A. \(m\in \left( -\infty ;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\cup \left( \frac{\sqrt{2}}{2};+\infty \right)\)
B. \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\le m\le \frac{\sqrt{2}}{2}\)
C. \(-3<m<\frac{\sqrt{2}}{2}\)
D. \(m\in \left( -\infty ;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right]\cup \left[ \frac{\sqrt{2}}{2};+\infty \right)\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là B
Phương pháp giải:
– Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( a;b \right)\Leftrightarrow f’\left( x \right)\ge 0\,\,\forall x\in \left( a;b \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y’=1+m\left( \cos x-\sin x \right)=1+\sqrt{2}m\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)\).
Hàm số đồng biến trên R \( \Leftrightarrow y’ \ge 0\) với \(\forall x \in R\) .
Vì \( – 1 \le \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Rightarrow y’ \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 – \sqrt 2 m \ge 0\\1 + \sqrt 2 m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\m \ge – \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow – \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le m \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Chọn B.
