by Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, ta xét các mệnh đề $P:”{{7}^{n}}+5$chia hết cho $2”$; $Q:”{{7}^{n}}+5$chia hết cho $3”$ và
$Q:”{{7}^{n}}+5$chia hết cho $6”$. Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là :
C. $3$.
B. $0$.
C. $1$.
D. $2$.
Hướng dẫn
Đáp án A.
Bằng phương pháp quy nạp toán học, chúng ta chứng minh được rằng ${{7}^{n}}+5$ chia hết cho 6.
Thật vậy: Với $n=1$ thì ${{7}^{1}}+5=12\vdots 6$.
Giả sử mệnh đề đúng với $n=k\ge 1$, nghĩa là ${{7}^{k}}+5$ chia hết ccho 6.
Ta chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$, nghĩa là phỉa chứng minh ${{7}^{k+1}}+5$ chia hết cho 6.
Ta có: ${{7}^{k+1}}+5=7\left( {{7}^{k}}+5 \right)-30$.
Theo giả thiết quy nạp thì ${{7}^{k}}+5$ chia hết cho 6 nên ${{7}^{k+1}}+5=7\left( {{7}^{k}}+5 \right)-30$ cũng chia hết cho 6.
Vậy ${{7}^{n}}+5$ chia hết cho 6 với mọi $n\ge 1$. Do đó các mệnh đề $P$ và $Q$ cũng đúng.
