Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, đặt ${{T}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+…+{{\left( 2n \right)}^{2}}$và ${{M}_{n}}={{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{6}^{2}}+…+{{\left( 2n \right)}^{2}}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Với $n\in {{\mathbb{N}}^{*}}$, đặt ${{T}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+…+{{\left( 2n \right)}^{2}}$và ${{M}_{n}}={{2}^{2}}+{{4}^{2}}+{{6}^{2}}+…+{{\left( 2n \right)}^{2}}$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

C. $\frac{{{T}_{n}}}{{{M}_{n}}}=\frac{4n+1}{2n+2}$.

B. $\frac{{{T}_{n}}}{{{M}_{n}}}=\frac{4n+1}{2n+1}$.

C. $\frac{{{T}_{n}}}{{{M}_{n}}}=\frac{8n+1}{n+1}$.

D. $\frac{{{T}_{n}}}{{{M}_{n}}}=\frac{2n+1}{n+1}$.

Hướng dẫn

Đáp án A.

Chúng ta có thể chọn phương án đúng dựa vào một trong hai cách sau đây:

Cách 1: Kiểm nghiệm từng phương án đúng đối với những giá trị cụ thể của $n$.

Với $n=1$ thì ${{T}_{1}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}=5;{{M}_{1}}={{2}^{2}}=4$nên $\frac{{{T}_{1}}}{{{M}_{1}}}=\frac{5}{4}$ (loại ngay được các phương án B, C, D).

Cách 2: Chúng ta tính ${{T}_{n}},{{M}_{n}}$ dựa vào những tổng đã biết kết quả. Cụ thể dựa vào ví dụ 1: ${{T}_{n}}=\frac{2n\left( 2n+1 \right)\left( 4n+1 \right)}{6};{{M}_{n}}=\frac{2n\left( n+1 \right)\left( 2n+1 \right)}{3}$. Suy ra $\frac{{{T}_{n}}}{{{M}_{n}}}=\frac{4n+1}{2n+2}$.