by Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x – 1}}\), biết tiếp tuyến đó tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân.
A. \(y = – x + 6,\,\,y = – x – 2\)
B. \(y = – x – 6,\,\,y = – x – 2\)
C. \(y = x + 1,\,\,y = x + 6\)
D. \(y = x – 1,\,\,y = x – 6\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là A
Phương pháp giải:
– Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số, viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\) là: \(y = f’\left( {{x_0}} \right)\left( {x – {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\,\left( d \right)\).
– Xác định tọa độ các điểm \(A = Ox \cap d,\,\,B = Oy \cap d\).
– Giải phương trình \(OA = OB\) tìm \({x_0}\), từ đó suy ra các phương trình tiếp tuyến thỏa mãn.
Lời giải chi tiết:
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y’ = \frac{{ – 4}}{{{{\left( {x – 1} \right)}^2}}}\).
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm thuộc đồ thị hàm số, phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(M\) là:
\(y = \frac{{ – 4}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} – 1}}\,\,\,\left( d \right)\)
Gọi \(A = d \cap Ox\).
Cho \(y = 0\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 0 = \frac{{ – 4}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\left( {x – {x_0}} \right) + \frac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} – 1}}\\ \Leftrightarrow 0 = – 4\left( {x – {x_0}} \right) + \left( {{x_0} + 3} \right)\left( {{x_0} – 1} \right)\\ \Leftrightarrow 0 = – 4x + 4{x_0} + x_0^2 + 2{x_0} – 3\\ \Leftrightarrow x = \frac{{x_0^2 + 6{x_0} – 3}}{4}\end{array}\)
\( \Rightarrow A\left( {\frac{{x_0^2 + 6{x_0} – 3}}{4};0} \right)\) \( \Rightarrow OA = \frac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} – 3} \right|}}{4}\).
Gọi \(B = d \cap Oy\).
Cho \(x = 0\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow y = \frac{{4{x_0}}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} + \frac{{{x_0} + 3}}{{{x_0} – 1}} = \frac{{4{x_0} + \left( {{x_0} + 3} \right)\left( {{x_0} – 1} \right)}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{4{x_0} + x_0^2 + 2{x_0} – 3}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} = \frac{{x_0^2 + 6{x_0} – 3}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
\( \Rightarrow B\left( {0;\frac{{x_0^2 + 6{x_0} – 3}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}} \right) \Rightarrow OB = \frac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} – 3} \right|}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\).
Vì tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\) nên \(OA = OB\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} – 3} \right|}}{4} = \frac{{\left| {x_0^2 + 6{x_0} – 3} \right|}}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left| {x_0^2 + 6{x_0} – 3} \right|\left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{4} – \frac{1}{{{{\left( {{x_0} – 1} \right)}^2}}} = 0\end{array}\)
(Do \(A \ne B\) nên \(x_0^2 + 6{x_0} – 3 \ne 0\))
\( \Leftrightarrow {\left( {{x_0} – 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} – 1 = 2\\{x_0} – 1 = – 2\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} = – 1\end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).
Với \({x_0} = 3\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y = – 1\left( {x – 3} \right) + 3 \Leftrightarrow y = – x + 6\).
Với \({x_0} = – 1\) \( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến: \(y = – 1\left( {x + 1} \right) – 1 \Leftrightarrow y = – x – 2\).
Chọn A.
