by Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m\) để mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^3} – \left( {m – 1} \right){x^2} + \left( {m – 1} \right)x + 5\) đều có hệ số góc dương. Số phần tử của tập \(S\) là:
A. Vô số
B. \(4\)
C. \(3\)
D. \(2\)
Hướng dẫn
Chọn đáp án là D
Phương pháp giải:
– Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\) là \(k = y’\left( {{x_0}} \right)\).
– Xét dấu tam thức bậc hai: \(a{x^2} + bx + c > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta < 0\end{array} \right.\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số.
Ta có \(y’ = 3{x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + m – 1\).
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(M\) là \(k = y’\left( {{x_0}} \right) = 3x_0^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_0} + m – 1\).
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}k > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 3x_0^2 – 2\left( {m – 1} \right){x_0} + m – 1 > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\\Delta ‘ = {\left( {m – 1} \right)^2} – 3\left( {m – 1} \right) < 0\,\end{array} \right.\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 – 3m + 3 < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} – 5m + 4 < 0\\ \Leftrightarrow 1 < m < 4\end{array}\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow S = \left\{ {2;3} \right\}\).
Vậy tập hợp \(S\) có 2 phần tử.
Chọn D.
